Tentukan turunan tiap fungsi trigonometri berikut terhadap

Turunan dari f(x)=x/(1+sec^2 x) adalah (1 + sec^2 x - 2x sec^2 x tan x) / (1 + sec^2 x)^2.

Pembahasan

Untuk menentukan turunan dari fungsi f(x) = x / (1 + sec^2 x) terhadap x, kita akan menggunakan aturan pembagian (quotient rule) dan aturan rantai (chain rule).

Aturan Pembagian menyatakan bahwa jika h(x) = u(x) / v(x), maka h'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]^2.

Dalam kasus ini:
u(x) = x
v(x) = 1 + sec^2 x

Langkah 1: Cari turunan dari u(x).
u'(x) = d/dx (x) = 1

Langkah 2: Cari turunan dari v(x).
v(x) = 1 + sec^2 x
Untuk mencari turunan dari sec^2 x, kita gunakan aturan rantai. Misalkan w = sec x, maka v(x) = 1 + w^2.
d/dx (sec^2 x) = d/dw (1 + w^2) * dw/dx

Turunan dari 1 + w^2 terhadap w adalah 2w.
Turunan dari sec x terhadap x adalah sec x tan x.

Jadi, dw/dx = sec x tan x.

Substitusikan kembali:
d/dx (sec^2 x) = 2w * (sec x tan x)
Ganti w dengan sec x:
d/dx (sec^2 x) = 2 sec x (sec x tan x)
d/dx (sec^2 x) = 2 sec^2 x tan x

Sekarang, kita cari turunan dari v(x) = 1 + sec^2 x:
v'(x) = d/dx (1) + d/dx (sec^2 x)
v'(x) = 0 + 2 sec^2 x tan x
v'(x) = 2 sec^2 x tan x

Langkah 3: Terapkan aturan pembagian.
f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]^2
f'(x) = [1 * (1 + sec^2 x) - x * (2 sec^2 x tan x)] / (1 + sec^2 x)^2
f'(x) = [1 + sec^2 x - 2x sec^2 x tan x] / (1 + sec^2 x)^2

Jadi, turunan dari f(x) = x / (1 + sec^2 x) terhadap x adalah (1 + sec^2 x - 2x sec^2 x tan x) / (1 + sec^2 x)^2.