tentukan volume bendaputar yang terbentuk jika setiap

Volume benda putar adalah $\frac{32\pi}{5}$ satuan kubik.

Pembahasan

Untuk menentukan volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh $y=1+\sqrt{x}$, garis $y=3$, dan sumbu Y diputar sejauh 360° terhadap sumbu Y, kita dapat menggunakan metode cakram atau cincin.

Karena diputar mengelilingi sumbu Y, kita perlu menyatakan $x$ dalam bentuk $y$.
Dari $y = 1 + \sqrt{x}$, kita dapatkan:
$y - 1 = \sqrt{x}$
$(y - 1)^2 = x$

Batas-batas integrasi adalah pada sumbu Y. Sumbu Y adalah $x=0$.
Batas bawah pada sumbu Y adalah ketika $x=0$ pada kurva $y = 1 + \sqrt{x}$.
Jika $x=0$, maka $y = 1 + \sqrt{0} = 1$. Jadi, batas bawah integrasi adalah $y=1$.
Batas atas diberikan oleh garis $y=3$.

Kita akan menggunakan metode cakram karena daerah tersebut langsung bersentuhan dengan sumbu putar (sumbu Y).
Volume $V = \pi \int_{a}^{b} [R(y)]^2 dy$
Di sini, $a=1$ dan $b=3$.
Jari-jari cakram adalah jarak dari sumbu Y ke kurva, yang diberikan oleh $x = (y-1)^2$.
Jadi, $R(y) = (y-1)^2$.

$V = \pi \int_{1}^{3} [(y-1)^2]^2 dy$
$V = \pi \int_{1}^{3} (y-1)^4 dy$

Untuk mengintegralkan $(y-1)^4$, kita bisa gunakan substitusi $u = y-1$, maka $du = dy$.
Batas integrasi berubah:
Jika $y=1$, $u=1-1=0$.
Jika $y=3$, $u=3-1=2$.

$V = \pi \int_{0}^{2} u^4 du$

Sekarang, integralkan $u^4$ terhadap $u$:
$\int u^4 du = \frac{u^5}{5}$

Evaluasi dari 0 sampai 2:
$V = \pi \left[ \frac{u^5}{5} \right]_{0}^{2}$
$V = \pi \left( \frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right)$
$V = \pi \left( \frac{32}{5} - 0 \right)$
$V = \frac{32\pi}{5}$

Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah $\frac{32\pi}{5}$ satuan kubik.