Tentukanlah a agar parabola y = (2p-1)x^2 + (p+1)x+1,

1 < p < 5

Pembahasan

Agar parabola y = (2p-1)x^2 + (p+1)x + 1 seluruhnya berada di atas sumbu x, dua kondisi harus dipenuhi:
1. Koefisien x^2 harus positif agar parabola membuka ke atas. Ini memastikan bahwa parabola memiliki nilai minimum.
2. Diskriminan (D) harus negatif. Diskriminan yang negatif menunjukkan bahwa parabola tidak memotong atau menyinggung sumbu x, yang berarti seluruh bagian parabola berada di atas sumbu x (karena sudah dipastikan membuka ke atas).

Mari kita terapkan kondisi ini:

Kondisi 1: Koefisien x^2 > 0
2p - 1 > 0
2p > 1
p > 1/2

Kondisi 2: Diskriminan (D) < 0
Diskriminan dihitung dengan rumus D = b^2 - 4ac, di mana a = (2p-1), b = (p+1), dan c = 1.

D = (p+1)^2 - 4(2p-1)(1)
D = (p^2 + 2p + 1) - (8p - 4)
D = p^2 + 2p + 1 - 8p + 4
D = p^2 - 6p + 5

Sekarang, kita terapkan kondisi D < 0:
p^2 - 6p + 5 < 0
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat ini, kita cari dulu akar-akarnya dengan menyamakan D = 0:
p^2 - 6p + 5 = 0
(p - 1)(p - 5) = 0
Jadi, akar-akarnya adalah p = 1 dan p = 5.

Karena parabola D = p^2 - 6p + 5 membuka ke atas (koefisien p^2 positif), maka D < 0 berada di antara akar-akarnya.
1 < p < 5.

Sekarang kita perlu menggabungkan kedua kondisi:
Kondisi 1: p > 1/2
Kondisi 2: 1 < p < 5

Irisan dari kedua kondisi ini adalah 1 < p < 5.

Jadi, agar parabola y = (2p-1)x^2 + (p+1)x + 1 seluruhnya berada di atas sumbu x, nilai a (yang dalam konteks ini adalah p) harus memenuhi 1 < p < 5.