Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

{x | x < 0 atau x > 2}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma log(5^(2x) + 25) > x(1 - log 2) + log 2 + log 13, kita perlu menyederhanakan kedua sisi pertidaksamaan terlebih dahulu.

Sisi kanan:
x(1 - log 2) + log 2 + log 13
Ingat bahwa 1 = log 10.
= x(log 10 - log 2) + log 2 + log 13
Menggunakan sifat logaritma log a - log b = log (a/b):
= x log (10/2) + log 2 + log 13
= x log 5 + log 2 + log 13
Menggunakan sifat logaritma n log a = log (a^n):
= log (5^x) + log 2 + log 13
Menggunakan sifat logaritma log a + log b = log (a*b):
= log (5^x * 2 * 13)
= log (26 * 5^x)

Pertidaksamaan menjadi:
log(5^(2x) + 25) > log(26 * 5^x)

Karena basis logaritma (diasumsikan basis 10) lebih besar dari 1, kita dapat menghilangkan logaritma dan mempertahankan arah pertidaksamaan:
5^(2x) + 25 > 26 * 5^x

Mari kita substitusi y = 5^x. Perhatikan bahwa karena 5^x selalu positif, maka y > 0.
Pertidaksamaan menjadi:
(5^x)^2 + 25 > 26 * 5^x
y^2 + 25 > 26y

Pindahkan semua suku ke satu sisi:
y^2 - 26y + 25 > 0

Sekarang, kita faktorkan pertidaksamaan kuadrat ini. Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 25 dan jika dijumlahkan menghasilkan -26. Bilangan tersebut adalah -1 dan -25.
(y - 1)(y - 25) > 0

Ini adalah pertidaksamaan kuadrat. Akar-akarnya adalah y = 1 dan y = 25. Karena koefisien y^2 positif, parabola membuka ke atas. Pertidaksamaan (y - 1)(y - 25) > 0 terpenuhi ketika y < 1 atau y > 25.

Sekarang kita substitusi kembali y = 5^x:

Kasus 1: 5^x < 1
Karena 1 = 5^0, maka:
5^x < 5^0
Karena basis 5 > 1, maka:
x < 0

Kasus 2: 5^x > 25
Karena 25 = 5^2, maka:
5^x > 5^2
Karena basis 5 > 1, maka:
x > 2

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma tersebut adalah x < 0 atau x > 2.
Himpunan penyelesaiannya adalah (-∞, 0) U (2, ∞).