Tentukanlah dy/dx, jika diketahui: y=4u^2-1/akar(u) dengan

$64x^3 - 32x + \frac{2x}{\sqrt{(2x^2 - 1)^3}}$

Pembahasan

Kita diminta untuk menentukan $\frac{dy}{dx}$ jika $y = 4u^2 - \frac{1}{\sqrt{u}}$ dan $u = (2x^2 - 1)$. Ini adalah soal turunan berantai (chain rule).

Langkah 1: Tentukan turunan y terhadap u ($\frac{dy}{du}$).
$y = 4u^2 - u^{-\frac{1}{2}}$
$rac{dy}{du} = \frac{d}{du}(4u^2) - \frac{d}{du}(u^{-\frac{1}{2}})$
$rac{dy}{du} = 8u - (-\frac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}})$
$rac{dy}{du} = 8u + \frac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}}$
$rac{dy}{du} = 8u + \frac{1}{2\sqrt{u^3}}$

Langkah 2: Tentukan turunan u terhadap x ($\frac{du}{dx}$).
$u = 2x^2 - 1$
$rac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(1)$
$rac{du}{dx} = 4x$

Langkah 3: Gunakan aturan rantai, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$.
$rac{dy}{dx} = \left( 8u + \frac{1}{2\sqrt{u^3}} \right) \cdot (4x)$
$rac{dy}{dx} = 32xu + \frac{4x}{2\sqrt{u^3}}$
$rac{dy}{dx} = 32xu + \frac{2x}{\sqrt{u^3}}$

Langkah 4: Substitusikan kembali $u = 2x^2 - 1$ ke dalam persamaan.
$rac{dy}{dx} = 32x(2x^2 - 1) + \frac{2x}{\sqrt{(2x^2 - 1)^3}}$
$rac{dy}{dx} = 64x^3 - 32x + \frac{2x}{\sqrt{(2x^2 - 1)^3}}$

Jadi, $\frac{dy}{dx} = 64x^3 - 32x + \frac{2x}{\sqrt{(2x^2 - 1)^3}}$