Tentukanlah himpunan penyelesaian (3x-10)^(x^2) =

Himpunan penyelesaiannya adalah {0, 2, 11/3, 10/3}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan (3x-10)^(x^2) = (3x-10)^(2x), kita perlu mempertimbangkan beberapa kasus:

Kasus 1: Basisnya sama dengan 1.
Jika 3x - 10 = 1, maka 3x = 11, sehingga x = 11/3. Dalam kasus ini, kedua sisi persamaan akan menjadi 1^(x^2) = 1^(2x), yang selalu benar.

Kasus 2: Basisnya sama dengan -1.
Jika 3x - 10 = -1, maka 3x = 9, sehingga x = 3. Kita perlu memeriksa apakah eksponennya memiliki paritas yang sama (keduanya genap atau keduanya ganjil). Jika x = 3, maka eksponennya adalah x^2 = 3^2 = 9 (ganjil) dan 2x = 2*3 = 6 (genap). Karena paritasnya berbeda, x = 3 bukan merupakan solusi.

Kasus 3: Basisnya sama dengan 0.
Jika 3x - 10 = 0, maka 3x = 10, sehingga x = 10/3. Kita perlu memeriksa apakah eksponennya positif. Jika x = 10/3, maka x^2 = (10/3)^2 = 100/9 (positif) dan 2x = 2*(10/3) = 20/3 (positif). Dalam kasus ini, kedua sisi persamaan menjadi 0^(100/9) = 0^(20/3), yang keduanya bernilai 0. Jadi, x = 10/3 adalah solusi.

Kasus 4: Eksponennya sama.
Jika x^2 = 2x, maka x^2 - 2x = 0, sehingga x(x - 2) = 0. Ini memberikan dua kemungkinan solusi: x = 0 atau x = 2.
Jika x = 0, basisnya adalah 3(0) - 10 = -10. Persamaan menjadi (-10)^0 = (-10)^0, yang keduanya bernilai 1. Jadi, x = 0 adalah solusi.
Jika x = 2, basisnya adalah 3(2) - 10 = 6 - 10 = -4. Persamaan menjadi (-4)^(2^2) = (-4)^(2*2), yaitu (-4)^4 = (-4)^4, yang keduanya bernilai 256. Jadi, x = 2 adalah solusi.

Himpunan penyelesaiannya adalah {0, 2, 11/3, 10/3}.