Tentukanlah integral dari integral 12 x(2 x+3)^3 dx

(3/5)(2x + 3)^5 - (9/4)(2x + 3)^4 + C

Pembahasan

Untuk menentukan integral dari \int 12x(2x+3)^3 dx, kita dapat menggunakan metode substitusi:

Misalkan u = 2x + 3.
Maka, turunan u terhadap x adalah du/dx = 2.
Sehingga, dx = du/2.

Kita juga perlu mengekspresikan x dalam bentuk u:
Dari u = 2x + 3, maka u - 3 = 2x, sehingga x = (u - 3) / 2.

Substitusikan u dan dx ke dalam integral:
\int 12x(2x+3)^3 dx = \int 12 * ((u - 3) / 2) * u^3 * (du / 2)

Sederhanakan konstanta:
= \int (12/4) * (u - 3) * u^3 du
= \int 3 * (u - 3) * u^3 du
= \int 3 * (u^4 - 3u^3) du

Sekarang, integralkan terhadap u:
= 3 * \int (u^4 - 3u^3) du
= 3 * ( (u^5 / 5) - (3u^4 / 4) ) + C

Ganti kembali u dengan (2x + 3):
= 3 * ( ((2x + 3)^5 / 5) - (3(2x + 3)^4 / 4) ) + C

Kalikan dengan 3:
= (3/5)(2x + 3)^5 - (9/4)(2x + 3)^4 + C

Jadi, hasil integralnya adalah (3/5)(2x + 3)^5 - (9/4)(2x + 3)^4 + C.