Tentukanlah koordinat titik puncak, koordinat titik fokus,

Titik puncak: (+-5, 0), Titik fokus: (+-5√2, 0), Asimtot: y = +-x, Latus Rectum: 10.

Pembahasan

Persamaan hiperbola yang diberikan adalah x^2 - y^2 = 25. Untuk mempermudah analisis, kita ubah persamaan ini ke dalam bentuk standar hiperbola dengan pusat di (0,0):
(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1

Bagi kedua sisi dengan 25:
(x^2 / 25) - (y^2 / 25) = 1

Dari sini, kita dapat mengidentifikasi:
a^2 = 25  => a = 5
b^2 = 25  => b = 5

Karena suku x^2 positif, hiperbola ini terbuka ke kiri dan kanan (horizontal).

1. Koordinat Titik Puncak:
Titik puncak terletak pada sumbu transversal (dalam hal ini, sumbu x). Koordinatnya adalah (+-a, 0).
Jadi, titik puncaknya adalah (5, 0) dan (-5, 0).

2. Koordinat Titik Fokus:
Untuk mencari fokus, kita perlu menghitung c menggunakan rumus c^2 = a^2 + b^2.
c^2 = 25 + 25 = 50
c = sqrt(50) = 5*sqrt(2)

Koordinat fokus adalah (+-c, 0).
Jadi, titik fokusnya adalah (5*sqrt(2), 0) dan (-5*sqrt(2), 0).

3. Persamaan Asimtot:
Asimtot adalah garis yang didekati oleh hiperbola saat menjauh dari pusat. Untuk hiperbola horizontal, persamaan asimtotnya adalah y = +- (b/a)x.
y = +- (5/5)x
y = +- x

Jadi, persamaan asimtotnya adalah y = x dan y = -x.

4. Panjang Latus Rectum:
Latus rectum adalah segmen garis yang melalui fokus, tegak lurus terhadap sumbu transversal, dan memiliki ujung-ujungnya pada hiperbola. Panjang latus rectum adalah 2b^2 / a.
Panjang Latus Rectum = 2 * (25) / 5 = 50 / 5 = 10.

5. Sketsa Grafik:
- Gambar sistem koordinat kartesius.
- Tandai pusat di (0,0).
- Tandai titik puncak di (5,0) dan (-5,0).
- Tandai fokus di (5*sqrt(2), 0) (sekitar 7.07, 0) dan (-5*sqrt(2), 0) (sekitar -7.07, 0).
- Gambar garis asimtot y = x dan y = -x, yang merupakan garis diagonal yang melewati pusat.
- Sketsa kedua cabang hiperbola yang dimulai dari titik puncak dan mendekati asimtot tanpa pernah menyentuhnya. Cabang pertama membuka ke kanan dari (5,0), dan cabang kedua membuka ke kiri dari (-5,0).