Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh y=x^3-3x^2+2x,

Luas daerahnya adalah 1/4 satuan luas.

Pembahasan

Untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x³ - 3x² + 2x, garis x=1, dan sumbu X, kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:

1.  **Cari titik potong kurva dengan sumbu X:**
    Setel y = 0:
    x³ - 3x² + 2x = 0
    x(x² - 3x + 2) = 0
    x(x - 1)(x - 2) = 0
    Jadi, titik potongnya adalah x=0, x=1, dan x=2.

2.  **Tentukan batas integrasi:**
    Daerah yang dibatasi adalah antara titik potong dengan sumbu X dan garis x=1. Berdasarkan titik potong, kita memiliki interval [0, 1] dan [1, 2]. Karena batas yang diberikan adalah x=1 dan sumbu X, kita perlu melihat interval mana yang relevan.
    Dari titik potong, kita tahu bahwa kurva memotong sumbu X di x=0 dan x=1. Jadi, kita akan mengintegrasikan dari x=0 hingga x=1.

3.  **Hitung integral tentu:**
    Luas daerah = ∫[dari 0 sampai 1] (x³ - 3x² + 2x) dx

    Integralkan fungsi: ∫(x³ - 3x² + 2x) dx = (1/4)x⁴ - x³ + x²

    Evaluasi integral dari 0 sampai 1:
    [(1/4)(1)⁴ - (1)³ + (1)²] - [(1/4)(0)⁴ - (0)³ + (0)²]
    = [(1/4) - 1 + 1] - [0]
    = 1/4

    Perlu diperhatikan apakah ada bagian dari kurva yang berada di bawah sumbu X dalam interval [0, 1]. Mari kita cek nilai y pada x=0.5:
y = (0.5)³ - 3(0.5)² + 2(0.5)
y = 0.125 - 3(0.25) + 1
y = 0.125 - 0.75 + 1
y = 0.375
Karena hasilnya positif, kurva berada di atas sumbu X pada interval [0, 1].

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh y=x³-3x²+2x, garis x=1, dan sumbu X adalah 1/4 satuan luas.