Tentukanlah nilai dari limit berikut! lim x-> 0 x^3/sin

Nilai limitnya adalah -1/4.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan aturan L'Hopital karena bentuk limitnya adalah 0/0 jika kita substitusikan x=0.

Limit: lim x-> 0 (x^3) / (sin 2x - tan 2x)

Jika kita substitusikan x=0:
Pembilang: 0^3 = 0
Penyebut: sin(0) - tan(0) = 0 - 0 = 0

Karena bentuknya 0/0, kita turunkan pembilang dan penyebutnya terhadap x.

Turunan pembilang (x^3) adalah 3x^2.

Turunan penyebut (sin 2x - tan 2x):
Turunan sin(2x) adalah cos(2x) * 2 = 2 cos(2x).
Turunan tan(2x) adalah sec^2(2x) * 2 = 2 sec^2(2x).
Jadi, turunan penyebutnya adalah 2 cos(2x) - 2 sec^2(2x).

Sekarang kita substitusikan kembali ke dalam limit:
lim x-> 0 (3x^2) / (2 cos(2x) - 2 sec^2(2x))

Jika kita substitusikan x=0 lagi:
Pembilang: 3(0)^2 = 0
Penyebut: 2 cos(0) - 2 sec^2(0) = 2(1) - 2(1)^2 = 2 - 2 = 0

Karena masih berbentuk 0/0, kita gunakan aturan L'Hopital lagi.

Turunan pembilang (3x^2) adalah 6x.

Turunan penyebut (2 cos(2x) - 2 sec^2(2x)):
Turunan 2 cos(2x) adalah 2 * (-sin(2x)) * 2 = -4 sin(2x).
Turunan -2 sec^2(2x) adalah -2 * 2 sec(2x) * (sec(2x) tan(2x)) * 2 = -8 sec^2(2x) tan(2x).
Jadi, turunan penyebutnya adalah -4 sin(2x) - 8 sec^2(2x) tan(2x).

Sekarang kita substitusikan kembali ke dalam limit:
lim x-> 0 (6x) / (-4 sin(2x) - 8 sec^2(2x) tan(2x))

Jika kita substitusikan x=0 lagi:
Pembilang: 6(0) = 0
Penyebut: -4 sin(0) - 8 sec^2(0) tan(0) = -4(0) - 8(1)^2(0) = 0 - 0 = 0

Karena masih berbentuk 0/0, kita gunakan aturan L'Hopital lagi.

Turunan pembilang (6x) adalah 6.

Turunan penyebut (-4 sin(2x) - 8 sec^2(2x) tan(2x)):
Turunan -4 sin(2x) adalah -4 * cos(2x) * 2 = -8 cos(2x).
Turunan -8 sec^2(2x) tan(2x) adalah:
Gunakan aturan perkalian: u = -8 sec^2(2x), v = tan(2x)
du/dx = -8 * 2 sec(2x) * (sec(2x) tan(2x)) * 2 = -32 sec^2(2x) tan(2x)
dv/dx = sec^2(2x) * 2 = 2 sec^2(2x)
d(uv)/dx = v(du/dx) + u(dv/dx)
= tan(2x) * (-32 sec^2(2x) tan(2x)) + (-8 sec^2(2x)) * (2 sec^2(2x))
= -32 sec^2(2x) tan^2(2x) - 16 sec^4(2x)

Jadi, turunan penyebutnya adalah: -8 cos(2x) - 32 sec^2(2x) tan^2(2x) - 16 sec^4(2x).

Sekarang kita substitusikan kembali ke dalam limit:
lim x-> 0 (6) / (-8 cos(2x) - 32 sec^2(2x) tan^2(2x) - 16 sec^4(2x))

Jika kita substitusikan x=0:
Pembilang: 6
Penyebut: -8 cos(0) - 32 sec^2(0) tan^2(0) - 16 sec^4(0)
= -8(1) - 32(1)^2 (0)^2 - 16(1)^4
= -8 - 0 - 16
= -24

Jadi, nilai limitnya adalah 6 / (-24) = -1/4.

Alternatif menggunakan ekspansi deret Taylor:
sin(u) ≈ u - u^3/6 + ...
tan(u) ≈ u + u^3/3 + ...

sin(2x) ≈ 2x - (2x)^3/6 = 2x - 8x^3/6 = 2x - 4x^3/3
tan(2x) ≈ 2x + (2x)^3/3 = 2x + 8x^3/3

sin(2x) - tan(2x) ≈ (2x - 4x^3/3) - (2x + 8x^3/3)
≈ 2x - 4x^3/3 - 2x - 8x^3/3
≈ -12x^3/3
≈ -4x^3

Limit = lim x-> 0 (x^3) / (-4x^3)
= lim x-> 0 (-1/4)
= -1/4

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah -1/4.