Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan 2 cos 2x-4 cos

Nilai x yang memenuhi adalah 120° dan 240°.

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah 2 cos 2x - 4 cos x = 1, dengan rentang 0 ≤ x ≤ 360°.
Kita perlu menggunakan identitas trigonometri untuk cos 2x. Ada beberapa pilihan: cos 2x = cos²x - sin²x, cos 2x = 2cos²x - 1, atau cos 2x = 1 - 2sin²x.
Karena persamaan mengandung cos x, kita akan menggunakan identitas cos 2x = 2cos²x - 1.

Substitusikan identitas ke dalam persamaan:
2(2cos²x - 1) - 4 cos x = 1
4cos²x - 2 - 4 cos x = 1
4cos²x - 4 cos x - 3 = 0

Ini adalah persamaan kuadrat dalam bentuk cos x. Misalkan y = cos x:
4y² - 4y - 3 = 0

Kita dapat memfaktorkan persamaan kuadrat ini:
(2y + 1)(2y - 3) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan solusi untuk y (cos x):
2y + 1 = 0  =>  y = -1/2
2y - 3 = 0  =>  y = 3/2

Karena nilai cosinus tidak bisa lebih besar dari 1 atau lebih kecil dari -1, maka y = 3/2 tidak memiliki solusi.
Kita hanya mempertimbangkan y = cos x = -1/2.

Kita perlu mencari nilai x dalam rentang 0° ≤ x ≤ 360° di mana cos x = -1/2.
Nilai cosinus bernilai negatif di kuadran II dan III.

Di kuadran II, sudut referensi adalah 60° (karena cos 60° = 1/2).
Jadi, x = 180° - 60° = 120°.

Di kuadran III, sudut referensi adalah 60°.
Jadi, x = 180° + 60° = 240°.

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan 2 cos 2x - 4 cos x = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah 120° dan 240°.