Tentukanlah semua bilangan real a yang mungkin sehingga

Semua bilangan real a.

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah:
x + y = a
x² + y² = a
x³ + y³ = a

Dari persamaan pertama dan kedua:
x + y = x² + y²
x² - x + y² - y = 0
(x² - x + 1/4) + (y² - y + 1/4) = 1/2
(x - 1/2)² + (y - 1/2)² = 1/2
Ini menunjukkan bahwa titik (x, y) terletak pada lingkaran dengan pusat (1/2, 1/2) dan jari-jari 1/√2.

Dari persamaan kedua dan ketiga:
x² + y² = x³ + y³
x³ - x² + y³ - y² = 0
x²(x - 1) + y²(y - 1) = 0

Substitusikan x + y = a dan x² + y² = a ke dalam identitas x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²):
a = (a)(a - xy)
a = a² - a(xy)
Jika a ≠ 0, maka 1 = a - xy, sehingga xy = a - 1.

Kita memiliki:
x + y = a
xy = a - 1

Ini berarti x dan y adalah akar-akar dari persamaan kuadrat t² - (x+y)t + xy = 0:
t² - at + (a - 1) = 0

Agar memiliki solusi real (x, y), diskriminan dari persamaan kuadrat ini harus non-negatif:
D = (-a)² - 4(1)(a - 1) ≥ 0
a² - 4a + 4 ≥ 0
(a - 2)² ≥ 0

Ketidaksamaan ini selalu benar untuk semua bilangan real a. Namun, kita harus memeriksa kasus a = 0 secara terpisah.

Jika a = 0:
x + y = 0  => y = -x
x² + y² = 0 => x² + (-x)² = 0 => 2x² = 0 => x = 0, y = 0
x³ + y³ = 0 => 0³ + 0³ = 0. Ini konsisten.
Jadi, a = 0 adalah solusi yang mungkin.

Sekarang, kembali ke (x - 1/2)² + (y - 1/2)² = 1/2. Jika x=0, y=0, maka (0 - 1/2)² + (0 - 1/2)² = 1/4 + 1/4 = 1/2. Ini konsisten.

Jadi, semua bilangan real a yang mungkin adalah semua bilangan real.