Tetrahedron (bidang empat). T.ABC mempunyai alas segitiga

Sudut antara bidang TBC dan bidang alas adalah 60 derajat.

Pembahasan

Diberikan sebuah tetrahedron T.ABC dengan alas segitiga siku-siku ABC. Diketahui AB = AC, TA tegak lurus pada bidang alas, TA = 5√3, dan BC = 10.
Kita perlu mencari sudut antara bidang TBC dan bidang alas ABC.

1.  **Analisis Geometri:**
    *   Karena AB = AC dan segitiga ABC siku-siku, maka segitiga ABC adalah segitiga siku-siku sama kaki. Sudut di A adalah 90 derajat.
    *   Karena TA tegak lurus pada bidang alas, maka TA tegak lurus pada setiap garis di bidang alas yang melalui A, termasuk AB dan AC.
    *   Kita perlu mencari garis potong antara bidang TBC dan bidang alas ABC. Garis potongnya adalah BC.
    *   Sudut antara dua bidang adalah sudut antara dua garis yang tegak lurus pada garis potong di satu titik yang sama.

2.  **Menemukan Titik pada Alas yang Membentuk Sudut Siku-siku dengan BC:**
    *   Dalam segitiga sama kaki ABC, garis tinggi dari A ke BC akan membagi BC menjadi dua sama panjang dan tegak lurus BC. Misalkan titik potongnya adalah D.
    *   Jadi, AD tegak lurus BC.
    *   Karena AD tegak lurus BC dan TA tegak lurus BC (karena TA tegak lurus bidang alas), maka sudut antara bidang TBC dan bidang alas ABC adalah sudut antara AD dan TD. Sudut ini adalah ∠TDA.

3.  **Menghitung Panjang Sisi-sisi Segitiga ABC:**
    *   Dalam segitiga siku-siku sama kaki ABC, dengan BC = 10 (hipotenusa).
    *   Misalkan AB = AC = s.
    *   Menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga ABC: AB² + AC² = BC²
    *   s² + s² = 10²
    *   2s² = 100
    *   s² = 50
    *   s = √50 = 5√2.
    *   Jadi, AB = AC = 5√2.

4.  **Menghitung Panjang AD:**
    *   D adalah titik tengah BC, sehingga BD = DC = BC/2 = 10/2 = 5.
    *   Dalam segitiga siku-siku ADB (siku-siku di D), kita bisa gunakan Pythagoras atau sifat segitiga siku-siku sama kaki.
    *   AD² + BD² = AB²
    *   AD² + 5² = (5√2)²
    *   AD² + 25 = 50
    *   AD² = 25
    *   AD = 5.
    *   Alternatif: Dalam segitiga siku-siku sama kaki, tinggi ke hipotenusa adalah setengah dari panjang hipotenusa. AD = BC/2 = 10/2 = 5.

5.  **Menghitung Sudut TDA:**
    *   Sekarang kita fokus pada segitiga TDA. Kita tahu TA = 5√3 (tinggi) dan AD = 5 (alas).
    *   Segitiga TDA siku-siku di A karena TA tegak lurus bidang alas.
    *   Kita ingin mencari sudut ∠TDA.
    *   Kita bisa menggunakan fungsi trigonometri tangen:
tan(∠TDA) = (Sisi depan) / (Sisi samping)
tan(∠TDA) = TA / AD
tan(∠TDA) = (5√3) / 5
tan(∠TDA) = √3

    *   Sudut yang tangennya adalah √3 adalah 60 derajat.
    *   Jadi, ∠TDA = 60°.

Kesimpulan: Sudut antara bidang TBC dan bidang alas adalah 60 derajat.