Tidak semua sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian.

Sistem persamaan linear tersebut tidak memiliki penyelesaian karena setelah dilakukan eliminasi, didapatkan dua persamaan yang saling bertentangan (kontradiksi), yaitu \(3x - 5z = -1\) dan \(3x - 5z = 2\).

Pembahasan

Sistem persamaan linear berikut tidak mempunyai penyelesaian:\nx+2y+3z=4 \(\quad \quad (1)\)\n2x+y-z=3 \(\quad \quad (2)\)\n3x+3y+2z=10 \(\quad \quad (3)\)

Untuk menentukan apakah sistem ini memiliki penyelesaian, kita dapat menggunakan metode eliminasi atau substitusi, atau dengan menganalisis matriks koefisiennya.\n
Metode Eliminasi:
Kalikan persamaan (1) dengan 2:
4x+4y+6z=8 \(\quad \quad (1')\)
Kurangkan persamaan (2) dari (1'):
(2x+y-z) - (x+2y+3z) = 3 - 4
2x+y-z - x-2y-3z = -1
x - y - 4z = -1 \(\quad \quad (4)\)

Kalikan persamaan (1) dengan 3:
3x+6y+9z=12 \(\quad \quad (1'')\)
Kurangkan persamaan (3) dari (1''): 
(3x+3y+2z) - (3x+6y+9z) = 10 - 12
3x+3y+2z - 3x-6y-9z = -2
-3y - 7z = -2 \(\quad \quad (5)\)

Sekarang kita punya sistem baru dari persamaan (4) dan (5):
x - y - 4z = -1 \(\quad \quad (4)\)
-3y - 7z = -2 \(\quad \quad (5)\)

Mari kita coba eliminasi variabel lain. Kalikan persamaan (4) dengan 3:
3x - 3y - 12z = -3 \(\quad \quad (4')\)
Kurangkan persamaan (5) dari (4'):
(3x - 3y - 12z) - (-3y - 7z) = -3 - (-2)
3x - 3y - 12z + 3y + 7z = -3 + 2
3x - 5z = -1 \(\quad \quad (6)\)

Sekarang kita perlu mengeliminasi satu variabel lagi untuk mendapatkan kontradiksi. Mari kita coba eliminasi y dari persamaan (1) dan (2).
Kalikan persamaan (2) dengan 2:
4x+2y-2z=6 \(\quad \quad (2')\)
Kurangkan persamaan (1) dari (2'):
(4x+2y-2z) - (x+2y+3z) = 6 - 4
4x+2y-2z - x-2y-3z = 2
3x - 5z = 2 \(\quad \quad (7)\)

Sekarang kita punya dua persamaan yang melibatkan x dan z:
3x - 5z = -1 \(\quad \quad (6)\)
3x - 5z = 2 \(\quad \quad (7)\)

Kedua persamaan ini menyatakan bahwa \(3x - 5z\) sama dengan -1 dan juga sama dengan 2. Ini adalah sebuah kontradiksi. \(-1 \neq 2\).
Karena kita sampai pada pernyataan yang kontradiktif, ini berarti sistem persamaan linear tersebut tidak memiliki solusi atau penyelesaian.