Kelas 11Kelas 10mathAljabar
Tiga buah bilangan dengan jumlah 42 membentuk barisan
Pertanyaan
Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri dengan jumlah 42. Jika suku tengah dikalikan dengan -5/3, maka akan terbentuk barisan aritmetika. Tentukan nilai maksimum dari ketiga bilangan tersebut.
Solusi
Verified
54
Pembahasan
Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah a, ar, dan ar^2, di mana a adalah suku pertama dan r adalah rasio barisan geometri. Diketahui jumlah ketiga bilangan adalah 42, sehingga: a + ar + ar^2 = 42 (Persamaan 1). Jika suku tengah (ar) dikalikan dengan -5/3, maka barisan tersebut menjadi a, -5/3 ar, ar^2, yang merupakan barisan aritmetika. Dalam barisan aritmetika, selisih antara suku-suku yang berurutan adalah konstan. Maka: -5/3 ar - a = ar^2 - (-5/3 ar) -5/3 ar - a = ar^2 + 5/3 ar Pindahkan semua suku ke satu sisi: ar^2 + 5/3 ar + 5/3 ar + a = 0 ar^2 + 10/3 ar + a = 0 Bagi seluruh persamaan dengan a (asumsikan a ≠ 0): r^2 + 10/3 r + 1 = 0 Kalikan dengan 3 untuk menghilangkan pecahan: 3r^2 + 10r + 3 = 0 Faktorkan persamaan kuadrat ini: (3r + 1)(r + 3) = 0 Maka, r = -1/3 atau r = -3. Kasus 1: r = -1/3 Substitusikan ke Persamaan 1: a + a(-1/3) + a(-1/3)^2 = 42 a - a/3 + a/9 = 42 Kalikan dengan 9: 9a - 3a + a = 378 7a = 378 a = 378 / 7 a = 54 Jika a = 54 dan r = -1/3, bilangan-bilangannya adalah: 54, 54(-1/3) = -18, 54(-1/3)^2 = 54(1/9) = 6. Bilangan-bilangannya adalah 54, -18, 6. Maksimumnya adalah 54. Kasus 2: r = -3 Substitusikan ke Persamaan 1: a + a(-3) + a(-3)^2 = 42 a - 3a + 9a = 42 7a = 42 a = 6 Jika a = 6 dan r = -3, bilangan-bilangannya adalah: 6, 6(-3) = -18, 6(-3)^2 = 6(9) = 54. Bilangan-bilangannya adalah 6, -18, 54. Maksimumnya adalah 54. Dalam kedua kasus, bilangan terbesar adalah 54.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Barisan Dan Deret
Section: Barisan Geometri Dan Aritmetika
Apakah jawaban ini membantu?