Tiga prototipe kendaraan, yaitu tipe A, B, dan C diuji

Kecepatan rata-rata dapat ditentukan dengan mengalikan matriks diagonal jarak tempuh total dengan invers dari matriks diagonal total waktu tempuh.

Pembahasan

Untuk menentukan kecepatan rata-rata ketiga kendaraan, kita perlu menggunakan konsep dasar kecepatan, yaitu kecepatan = jarak / waktu.
Dalam soal ini, kita memiliki data waktu tempuh dan jarak tempuh untuk tiga sesi pengujian bagi tiga tipe kendaraan (A, B, C).

Kecepatan rata-rata untuk setiap kendaraan dihitung dengan membagi total jarak tempuh dengan total waktu tempuh.
Namun, soal meminta bentuk perkalian matriks yang sesuai untuk menentukan kecepatan rata-rata.

Mari kita susun data dalam bentuk matriks:
Misalkan:
- V adalah vektor kecepatan (VA, VB, VC)
- J adalah vektor jarak tempuh total
- W adalah vektor waktu tempuh total

Dari tabel:

Sesi Pengujian | Waktu Tempuh (sekon) | Jarak Tempuh (meter)
---|---|---
| Tipe A | Tipe B | Tipe C | 
Sesi I | 12 | 11 | 14 | 906
Sesi II | 9 | 10 | 8 | 879
Sesi III | 15 | 14 | 18 | 1.010

Total Waktu Tempuh:
Total Waktu A = 12 + 9 + 15 = 36 sekon
Total Waktu B = 11 + 10 + 14 = 35 sekon
Total Waktu C = 14 + 8 + 18 = 40 sekon

Total Jarak Tempuh:
Total Jarak A = 906 meter
Total Jarak B = 879 meter
Total Jarak C = 1.010 meter

Rumus Kecepatan Rata-rata:
VA = Total Jarak A / Total Waktu A
VB = Total Jarak B / Total Waktu B
VC = Total Jarak C / Total Waktu C

Kita dapat merepresentasikan ini dalam bentuk matriks. Kita perlu mengalikan matriks jarak tempuh dengan invers dari matriks waktu tempuh atau menggunakan operasi yang sesuai.

Mari kita definisikan matriks:

Matriks Jarak (J):
J = [[906],
     [879],
     [1010]]

Matriks Waktu (W) - di sini kita perlu menyusunnya agar perkalian matriks menghasilkan kecepatan.
Kita bisa membuat matriks di mana setiap baris mewakili satu kendaraan dan kolomnya mewakili waktu dari setiap sesi.
Namun, cara yang lebih umum untuk mendapatkan kecepatan rata-rata (jarak/waktu) dalam bentuk matriks adalah jika kita memiliki matriks waktu dan matriks jarak, dan kita ingin melakukan operasi pembagian elemen-wise atau menggunakan invers.

Jika kita ingin menggunakan perkalian matriks, kita bisa memikirkan bagaimana hubungan antara matriks waktu dan jarak.

Misalkan Waktu Tempuh per sesi adalah matriks:
 TW = [[12, 11, 14],
       [9, 10, 8],
       [15, 14, 18]] 

Dan Jarak Tempuh per sesi adalah vektor:
 J = [[906],
      [879],
      [1010]]

Namun, ini tidak langsung memberikan kecepatan rata-rata (total jarak / total waktu).

Untuk mendapatkan kecepatan rata-rata, kita perlu menjumlahkan waktu per kendaraan terlebih dahulu. Vektor total waktu tempuh adalah:
TW_total = [36, 35, 40]

Vektor total jarak tempuh adalah:
TJ = [906, 879, 1010]

Kecepatan VA = TJ_A / TW_A, VB = TJ_B / TW_B, VC = TJ_C / TW_C.

Jika kita ingin menggunakan perkalian matriks, kita bisa menyusunnya sebagai berikut:
Kita ingin mendapatkan vektor kecepatan V = [VA, VB, VC]^T.

Kita bisa membuat matriks D (diagonal) yang berisi total jarak tempuh:
D = [[906, 0, 0],
     [0, 879, 0],
     [0, 0, 1010]]

Dan matriks T (diagonal) yang berisi total waktu tempuh:
T = [[36, 0, 0],
     [0, 35, 0],
     [0, 0, 40]]

Kecepatan V = D * T^(-1)

Namun, jika kita melihat format perkalian matriks yang diminta, biasanya melibatkan perkalian matriks data dengan vektor atau matriks lain.

Mari kita coba menyusunnya dengan cara lain. Kita bisa menggunakan matriks kolom untuk jarak dan matriks baris untuk waktu.

Misalkan:
Matriks Jarak (J_col) = [[906],
                        [879],
                        [1010]]

Kita perlu matriks waktu yang, ketika dikalikan dengan matriks jarak, memberikan kecepatan. Ini tidak secara langsung terlihat.

Namun, jika kita melihat struktur soal ujian, seringkali diminta untuk menyusun sistem persamaan linear.
Dalam kasus ini, kita tahu kecepatan rata-rata = Jarak / Waktu. Jadi, Jarak = Kecepatan * Waktu.

Misalkan:
Matriks Waktu per sesi untuk 3 kendaraan: W_sesi = [[12, 11, 14],
                                                [9, 10, 8],
                                                [15, 14, 18]]
Ini adalah matriks 3x3, di mana baris adalah sesi dan kolom adalah kendaraan.

Matriks Jarak per sesi: J_sesi = [[906],
                                 [879],
                                 [1010]]
Ini adalah vektor kolom 3x1.

Kita ingin mencari V = [VA, VB, VC]^T, di mana VA = total_jarak_A / total_waktu_A.

Jika kita mengalikan matriks W_sesi dengan vektor kecepatan V:
W_sesi * V = [[12*VA + 11*VB + 14*VC],
              [9*VA + 10*VB + 8*VC],
              [15*VA + 14*VB + 18*VC]]

Hasil perkalian ini seharusnya berhubungan dengan Jarak tempuh per sesi. Namun, ini adalah sistem persamaan linear jika kita tahu VA, VB, VC dan ingin mencari jarak, atau sebaliknya.

Soal meminta "bentuk perkalian matriks yang sesuai untuk menentukan kecepatan rata-rata". Ini mengimplikasikan bahwa kita menggunakan data yang ada untuk menghitung kecepatan.

Mari kita fokus pada bagaimana mendapatkan total jarak dibagi total waktu.

Kita bisa membuat matriks Waktu sebagai kolom:
TW_col = [[12, 9, 15],
          [11, 10, 14],
          [14, 8, 18]] 
Ini adalah matriks 3x3.

Dan matriks Jarak sebagai kolom:
TJ_col = [[906],
          [879],
          [1010]]

Jika kita ingin kecepatan VA = 906 / (12+9+15), VB = 879 / (11+10+14), VC = 1010 / (14+8+18).

Kita bisa membuat matriks di mana setiap kolom adalah waktu tempuh per sesi untuk satu kendaraan:
Matriks Waktu (W_data) = [[12, 11, 14],
                          [9, 10, 8],
                          [15, 14, 18]]

Kita dapat menjumlahkan setiap kolom untuk mendapatkan total waktu per kendaraan:
Total Waktu = W_data^T * [1, 1, 1]^T
Total Waktu = [[12, 9, 15],
               [11, 10, 14],
               [14, 8, 18]] * [[1],
                                [1],
                                [1]]
Total Waktu = [[12+9+15],
               [11+10+14],
               [14+8+18]] = [[36],
                               [35],
                               [40]]
Ini adalah vektor total waktu per kendaraan.

Sekarang, kita punya vektor total jarak: J_total = [[906],
                                               [879],
                                               [1010]]

Untuk mendapatkan kecepatan, kita perlu membagi elemen vektor J_total dengan elemen vektor Total Waktu.
Ini bisa dilakukan dengan perkalian matriks jika kita menggunakan invers:

Kecepatan = J_total * (Total Waktu)^(-1)

Atau, jika kita ingin bentuk perkalian matriks langsung, kita bisa membuat matriks diagonal dari total jarak dan mengalikannya dengan invers dari matriks diagonal total waktu.

Misalkan:
Matriks Diagonal Jarak (D_J) = [[906, 0, 0],
                              [0, 879, 0],
                              [0, 0, 1010]]

Matriks Diagonal Waktu (D_W) = [[36, 0, 0],
                                [0, 35, 0],
                                [0, 0, 40]]

Maka, Kecepatan (V) = D_J * (D_W)^(-1)

V = [[906, 0, 0],
     [0, 879, 0],
     [0, 0, 1010]] * [[1/36, 0, 0],
                       [0, 1/35, 0],
                       [0, 0, 1/40]]

V = [[906/36, 0, 0],
     [0, 879/35, 0],
     [0, 0, 1010/40]]

V = [[25.167],
     [25.114],
     [25.25]]

Namun, soal meminta "bentuk perkalian matriks yang sesuai untuk menentukan kecepatan rata-rata". Ini bisa merujuk pada bagaimana data mentah (waktu per sesi dan jarak per sesi) disusun untuk perhitungan.

Jika kita lihat opsi jawaban yang mungkin (meskipun tidak diberikan), formatnya seringkali:
Matriks Data * Vektor Kecepatan = Vektor Lain
Atau
Vektor Data * Matriks Lain = Vektor Kecepatan

Mari kita coba representasi lain:
Kita perlu menggabungkan data waktu dari ketiga sesi per kendaraan.

Misalkan:
Matriks Waktu (W) = [[12, 11, 14],
                     [9, 10, 8],
                     [15, 14, 18]]

Misalkan:
Matriks Jarak (J) = [[906],
                     [879],
                     [1010]]

Kita perlu membuat matriks yang, ketika dikalikan dengan vektor kecepatan V = [VA, VB, VC]^T, menghasilkan sesuatu yang terkait dengan jarak dan waktu.

Perhatikan bahwa untuk mendapatkan total waktu per kendaraan, kita perlu menjumlahkan elemen per kolom. Ini bisa dilakukan dengan mengalikan matriks W dengan vektor kolom [1, 1, 1]^T.

Jadi, TW = W * [1, 1, 1]^T = [[12+9+15], [11+10+14], [14+8+18]] = [[36], [35], [40]].
Ini adalah vektor total waktu.

Sekarang kita punya:
Jarak total per kendaraan (VJ) = [[906], [879], [1010]].
Total waktu per kendaraan (TW) = [[36], [35], [40]].

Kecepatan VA = VJ_A / TW_A, VB = VJ_B / TW_B, VC = VJ_C / TW_C.

Untuk mendapatkan ini dalam bentuk perkalian matriks, kita bisa menggunakan matriks identitas yang dimodifikasi atau matriks diagonal.

Jika kita ingin membentuk persamaan:
VA = 906 / (12+9+15)
VB = 879 / (11+10+14)
VC = 1010 / (14+8+18)

Kita bisa menulis ulang sebagai:
36 * VA = 906
35 * VB = 879
40 * VC = 1010

Ini bisa ditulis sebagai:
[[36, 0, 0],
 [0, 35, 0],
 [0, 0, 40]] * [[VA],
                 [VB],
                 [VC]] = [[906],
                         [879],
                         [1010]]

Atau dalam notasi matriks:
Matriks Total Waktu (diagonal) * Vektor Kecepatan = Vektor Jarak Total

Matriks Total Waktu ini (D_TW) dapat diperoleh dari data sesi.
Kita tahu Matriks Waktu Sesi (W_sesi) = [[12, 11, 14],
                                        [9, 10, 8],
                                        [15, 14, 18]]
Untuk mendapatkan D_TW, kita perlu menjumlahkan kolom W_sesi. Ini bisa dilakukan dengan:
(W_sesi^T) * [[1], [1], [1]] = [[12, 9, 15], [11, 10, 14], [14, 8, 18]] * [[1], [1], [1]] = [[36], [35], [40]].
Ini memberikan vektor total waktu.

Untuk mendapatkan matriks diagonal D_TW:
D_TW = diag(W_sesi * [1, 1, 1]^T)

Jadi, bentuk perkalian matriks yang sesuai adalah:

Matriks yang berisi total waktu tempuh per kendaraan di diagonalnya, dikalikan dengan vektor kecepatan, sama dengan vektor jarak tempuh total per kendaraan.

Matriks Total Waktu (Diagonal): D_TW = diag( (W_sesi^T) * [1, 1, 1]^T )

D_TW = [[36, 0, 0],
        [0, 35, 0],
        [0, 0, 40]]

Vektor Kecepatan: V = [[VA],
                     [VB],
                     [VC]]

Vektor Jarak Total: J_total = [[906],
                             [879],
                             [1010]]

Persamaan matriksnya adalah: D_TW * V = J_total

Namun, jika soal mengacu pada data asli (waktu sesi), kita bisa menyusunnya sebagai berikut:
Kita perlu mengalikan matriks waktu sesi dengan sesuatu untuk mendapatkan total waktu.
Kita perlu mengalikan matriks jarak sesi dengan sesuatu untuk mendapatkan total jarak.

Jika kita ingin "menentukan kecepatan rata-rata", kita perlu operasi pembagian (jarak/waktu).

Mari kita fokus pada bagaimana data ini bisa diolah menggunakan perkalian matriks.

Perhatikan matriks waktu sesi (W_sesi) dan matriks jarak sesi (J_sesi).
Kita ingin VA = J_total_A / TW_A.

Kita bisa membuat matriks 3x3 di mana setiap baris berisi waktu tempuh satu kendaraan untuk setiap sesi, dan kita ingin mengalikan dengan vektor yang menghasilkan total waktu.

Jika kita mengambil transpos dari matriks waktu sesi:
W_sesi^T = [[12, 9, 15],
            [11, 10, 14],
            [14, 8, 18]]
Ini adalah matriks di mana kolomnya adalah waktu per sesi untuk kendaraan A, B, C.

Sekarang, jika kita mengalikan W_sesi^T dengan vektor [[1],[1],[1]], kita mendapatkan total waktu per kendaraan.

Misalkan kita memiliki vektor kecepatan V = [VA, VB, VC]^T.

Jika kita ingin menyusun persamaan:
VA = Jarak A / Waktu A

Bentuk perkalian matriks yang paling sesuai untuk representasi ini adalah:

Kita perlu matriks yang ketika dikalikan dengan vektor kecepatan, menghasilkan produk antara waktu dan kecepatan, yang seharusnya sama dengan jarak.

Jadi, Waktu * Kecepatan = Jarak.

Kita perlu matriks 'Waktu' yang sesuai.

Misalkan matriks Waktu per kendaraan, di mana setiap kolom adalah waktu per sesi untuk satu kendaraan:
TW_data = [[12, 11, 14],
           [9, 10, 8],
           [15, 14, 18]]
Ini salah, ini adalah waktu per sesi, per kendaraan.

Mari kita susun ulang:

Waktu tempuh (sekon) | Jarak tempuh (meter)
---|---
Kendaraan | Sesi I | Sesi II | Sesi III | Total Waktu | Total Jarak
---|---|---|---|---|---
A | 12 | 9 | 15 | 36 | 906
B | 11 | 10 | 14 | 35 | 879
C | 14 | 8 | 18 | 40 | 1010

Kita ingin menghitung V = [VA, VB, VC]^T.

Kecepatan Rata-rata = Total Jarak / Total Waktu.

Kita dapat menggunakan matriks di mana setiap kolom mewakili satu kendaraan, dan baris mewakili sesi.

Matriks Waktu Sesi (W_sesi) = [[12, 11, 14],
                              [9, 10, 8],
                              [15, 14, 18]]

Matriks Jarak Sesi (J_sesi) = [[906],
                               [879],
                               [1010]]

Untuk mendapatkan total waktu per kendaraan, kita perlu menjumlahkan elemen per kolom dari W_sesi. Ini bisa dicapai dengan mengalikan W_sesi dengan vektor kolom satuan [1, 1, 1]^T.

Misalkan W_sesi_col = [[12, 9, 15],
                     [11, 10, 14],
                     [14, 8, 18]]

TW = W_sesi_col * [[1],
                    [1],
                    [1]] = [[36],
                          [35],
                          [40]]

Kita memiliki VJ = [[906],
                  [879],
                  [1010]]

Kita ingin V = VJ / TW (pembagian elemen-wise).

Untuk representasi perkalian matriks, kita bisa menggunakan:

Matriks diagonal dari VJ dikalikan dengan invers dari matriks diagonal dari TW.

VJ_diag = diag(VJ)
TW_diag = diag(TW)

V = VJ_diag * inv(TW_diag)

VJ_diag = [[906, 0, 0],
           [0, 879, 0],
           [0, 0, 1010]]

TW_diag = [[36, 0, 0],
           [0, 35, 0],
           [0, 0, 40]]

inv(TW_diag) = [[1/36, 0, 0],
                [0, 1/35, 0],
                [0, 0, 1/40]]

V = [[906/36],
     [879/35],
     [1010/40]]

Jadi, bentuk perkalian matriks yang sesuai adalah:

Matriks diagonal berisi jarak tempuh total per kendaraan, dikalikan dengan invers dari matriks diagonal berisi total waktu tempuh per kendaraan.