Titik balik maksimum dari f(x)=x^3-3x^2-9x adalah ....

(-1, 5)

Pembahasan

Untuk menemukan titik balik maksimum dari fungsi $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x$, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut, menyetelnya sama dengan nol untuk menemukan titik kritis, dan kemudian menggunakan turunan kedua untuk menentukan apakah titik kritis tersebut adalah maksimum lokal, minimum lokal, atau titik belok.

Langkah 1: Cari turunan pertama ($f'(x)$).
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 9x) = 3x^2 - 6x - 9$

Langkah 2: Setel turunan pertama sama dengan nol untuk mencari titik kritis.
$3x^2 - 6x - 9 = 0$
Bagi persamaan dengan 3:
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Faktorkan persamaan kuadrat:
$(x-3)(x+1) = 0$
Maka, titik kritisnya adalah $x = 3$ dan $x = -1$.

Langkah 3: Cari turunan kedua ($f''(x)$).
$f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x - 9) = 6x - 6$

Langkah 4: Gunakan turunan kedua untuk menguji titik kritis.
Untuk $x = 3$:
$f''(3) = 6(3) - 6 = 18 - 6 = 12$
Karena $f''(3) > 0$, maka pada $x=3$ terdapat titik balik minimum.

Untuk $x = -1$:
$f''(-1) = 6(-1) - 6 = -6 - 6 = -12$
Karena $f''(-1) < 0$, maka pada $x=-1$ terdapat titik balik maksimum.

Langkah 5: Hitung nilai y pada titik balik maksimum.
Ganti $x = -1$ ke dalam fungsi asli $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x$.
$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1)$
$f(-1) = -1 - 3(1) + 9$
$f(-1) = -1 - 3 + 9 = 5$

Jadi, titik balik maksimum dari $f(x)=x^3-3x^2-9x$ adalah $(-1, 5)$