Titik-titik sudut segitiga ABC adalah A(3,1,6), B(0,4,-3),

Koordinat D(2,2,3), E(2,1,1), F(2,-2,-5). Titik D, E, F segaris karena vektor DE sejajar vektor EF (EF = 3*DE). Perbandingan DE:EF adalah 1:3.

Pembahasan

Untuk mencari koordinat titik D yang membagi AB di dalam dengan perbandingan 1:2, kita gunakan rumus:
D = ((m*B + n*A) / (m+n))
D = ((1*(0,4,-3) + 2*(3,1,6)) / (1+2))
D = ((0,4,-3) + (6,2,12)) / 3
D = (6,6,9) / 3
D = (2,2,3)

Untuk mencari koordinat titik E yang merupakan titik tengah AC, kita gunakan rumus:
E = (A+C)/2
E = ((3,1,6) + (1,1,-4)) / 2
E = (4,2,2) / 2
E = (2,1,1)

Untuk mencari koordinat titik F yang membagi BC di luar dengan perbandingan 2:1, kita gunakan rumus:
F = ((m*C - n*B) / (m-n))
F = ((2*(1,1,-4) - 1*(0,4,-3)) / (2-1))
F = ((2,2,-8) - (0,4,-3)) / 1
F = (2,-2,-5)

b. Untuk menunjukkan D, E, dan F segaris, kita perlu menunjukkan bahwa vektor DE sejajar dengan vektor EF. Artinya, salah satu vektor merupakan kelipatan skalar dari vektor lainnya.
vektor DE = E - D = (2,1,1) - (2,2,3) = (0, -1, -2)
vektor EF = F - E = (2,-2,-5) - (2,1,1) = (0, -3, -6)
Karena vektor EF = 3 * vektor DE, maka vektor DE sejajar dengan vektor EF. Sehingga, titik D, E, dan F adalah segaris.

c. Menentukan ->DE : ->EF
Karena vektor EF = 3 * vektor DE, maka perbandingan ->DE : ->EF adalah 1:3.