Titik-titik sudut segitiga PQR adalah P(-1,-2), Q(4,3), dan

a. A(1,0), B(-4,4), C(-14,12). b. Vektor AB sejajar dengan vektor BC.

Pembahasan

Soal ini melibatkan konsep vektor dan perbandingan dalam geometri koordinat.

a. Menentukan koordinat titik A, B, dan C:
Titik A membagi PQ dengan perbandingan 2:3. Menggunakan rumus perbandingan vektor:
A = (3P + 2Q) / (2 + 3)
A = (3(-1,-2) + 2(4,3)) / 5
A = ((-3,-6) + (8,6)) / 5
A = (5,0) / 5
A = (1,0)

Titik B membagi RP dengan perbandingan 2:3. Menggunakan rumus perbandingan vektor:
B = (3R + 2P) / (2 + 3)
B = (3(-6,8) + 2(-1,-2)) / 5
B = ((-18,24) + (-2,-4)) / 5
B = (-20,20) / 5
B = (-4,4)

Titik C membagi QR dengan perbandingan 9:-4. Ini berarti C membagi QR eksternal. Namun, biasanya perbandingan eksternal dinyatakan dengan rasio positif dan indikasi eksternal. Jika kita mengasumsikan perbandingan internal 9:(-4) yang tidak umum, atau jika maksudnya adalah perbandingan 9:4 pada garis yang diperpanjang, kita perlu klarifikasi. Mengasumsikan perbandingan internal 9:-4:
C = (-4Q + 9R) / (9 + (-4))
C = (-4(4,3) + 9(-6,8)) / 5
C = ((-16,-12) + (-54,72)) / 5
C = (-70,60) / 5
C = (-14,12)

Namun, jika perbandingan 9:-4 berarti C membagi QR sedemikian rupa sehingga QC/CR = 9/-4 (eksternal), maka:
C = (-4Q + 9R) / (9 - 4) = (-4(4,3) + 9(-6,8)) / 5 = (-16,-12) + (-54,72)) / 5 = (-70,60) / 5 = (-14,12)
Jika maksudnya adalah perbandingan 9:4 secara eksternal dari Q ke R, maka titik C berada di luar segmen QR.

Kita akan gunakan hasil C = (-14,12) untuk melanjutkan.

b. Menunjukkan bahwa A, B, C segaris:
Untuk menunjukkan bahwa A, B, C segaris, kita dapat memeriksa apakah vektor AB sejajar dengan vektor BC, atau apakah gradien garis AB sama dengan gradien garis BC.

Vektor AB = B - A = (-4,4) - (1,0) = (-5,4)
Vektor BC = C - B = (-14,12) - (-4,4) = (-10,8)

Kita lihat bahwa vektor BC = 2 * vektor AB. Karena salah satu vektor adalah kelipatan skalar dari vektor lainnya, dan kedua vektor berbagi titik B, maka titik A, B, dan C adalah segaris (kolinear).