Jika f(x)=10^x dan g(x)=10log x^2 untuk x>0, maka

f^(-1)(g(x)) = log_10(2 log_10 x)

Pembahasan

Untuk menemukan \(f^{-1}(g(x))\), kita perlu mencari invers dari fungsi f(x) terlebih dahulu, kemudian mensubstitusikannya ke dalam g(x).

Diberikan:
\(f(x) = 10^x\)
\(g(x) = 10\log x^2\) untuk \(x > 0\)

Langkah 1: Cari invers dari f(x), yaitu \(f^{-1}(x)\).
Misalkan \(y = f(x)\), maka \(y = 10^x\).
Untuk mencari invers, tukar \(x\) dan \(y\), lalu selesaikan untuk \(y\):
\(x = 10^y\)
Ambil logaritma basis 10 pada kedua sisi:
\(\log_{10} x = \log_{10} 10^y\)
\(\log_{10} x = y\)
Jadi, \(f^{-1}(x) = \log_{10} x\).

Langkah 2: Substitusikan \(f^{-1}(x)\) ke dalam \(g(x)\). Ini berarti kita akan menghitung \(f^{-1}(g(x))\).
Kita punya \(g(x) = 10\log x^2\). Perhatikan bahwa \(10\log x^2\) biasanya berarti \(\log_{10} x^2\).

\(f^{-1}(g(x)) = f^{-1}(10\log x^2)\)

Gunakan \(f^{-1}(x) = \log_{10} x\). Ganti \(x\) dengan \(10\log x^2\):

\(f^{-1}(10\log x^2) = \log_{10} (10\log x^2)\)

Ini adalah jawaban yang paling langsung. Namun, kita bisa menyederhanakan \(g(x)\) terlebih dahulu menggunakan sifat logaritma \(\log a^b = b \log a\):
\(g(x) = 10\log x^2 = 10 * (2 \log x) = 20 \log x\). (Asumsi \(\log\) adalah \(\log_{10}\))

Atau, jika \(10\log x^2\) berarti \(\log_{10} (x^2)\):
\(g(x) = \log_{10} x^2 = 2 \log_{10} x\).

Mari kita gunakan interpretasi \(g(x) = \log_{10} x^2 = 2 \log_{10} x\).

Sekarang hitung \(f^{-1}(g(x))\):
\(f^{-1}(g(x)) = f^{-1}(2 \log_{10} x)\)

Substitusikan \(2 \log_{10} x\) ke dalam \(f^{-1}(x) = \log_{10} x\):

\(f^{-1}(2 \log_{10} x) = \log_{10} (2 \log_{10} x)\)

Jika \(g(x)\) memang berarti \(10 \times \log x^2\), maka:
\(g(x) = 10 \times (2 \log x) = 20 \log x\)

\(f^{-1}(g(x)) = f^{-1}(20 \log x)\)

\(f^{-1}(20 \log x) = \log_{10} (20 \log x)\)

Dengan asumsi \(g(x) = \log_{10} x^2\), maka \(f^{-1}(g(x)) = \log_{10} (2 \log_{10} x)\).