Tuliskan hubungan antara r, t, dan a jika selimut suatu

Hubungan umum adalah a^2 = r^2 + t^2. Untuk sudut juring > 180°, 2r > a; untuk sudut juring = 180°, 2r = a; dan untuk sudut juring < 180°, 2r < a.

Pembahasan

Hubungan antara jari-jari alas kerucut (r), tinggi kerucut (t), dan panjang garis pelukis (a) pada selimut kerucut bergantung pada bagaimana selimut tersebut dibentuk menjadi kerucut.

Selimut kerucut adalah sebuah juring lingkaran. Jari-jari juring lingkaran ini sama dengan panjang garis pelukis kerucut (a). Keliling alas kerucut (2πr) sama dengan panjang busur juring tersebut.

Misalkan sudut pusat juring adalah α (dalam radian).
Panjang busur juring = jari-jari juring * sudut pusat = a * α
Keliling alas kerucut = 2πr

Karena keliling alas kerucut sama dengan panjang busur juring:
2πr = a * α

Dari sini, kita dapat menghubungkan α dengan r dan a:
α = 2πr / a

Sekarang, mari kita lihat hubungan antara r, t, dan a berdasarkan nilai sudut pusat juring (α):

a. Sudut pusat juring lebih dari 180 derajat (π radian < α < 2π radian):
Jika α > π, maka:
2πr / a > π
2r / a > 1
2r > a

Dalam segitiga siku-siku yang dibentuk oleh jari-jari alas (r), tinggi kerucut (t), dan garis pelukis (a), berlaku teorema Pythagoras: a^2 = r^2 + t^2.
Jika 2r > a, ini menyiratkan bahwa r lebih besar dari setengah a. Dalam konteks kerucut, ini berarti alas kerucut relatif lebar dibandingkan dengan garis pelukisnya. Hal ini memungkinkan sudut pusat juring lebih dari 180 derajat.

b. Sudut pusat juring sama dengan 180 derajat (α = π radian):
Jika α = π, maka:
2πr / a = π
2r / a = 1
2r = a

Ini berarti jari-jari alas kerucut sama dengan setengah panjang garis pelukis (r = a/2). Dalam kasus ini, kerucut yang terbentuk adalah setengah tabung jika selimutnya dibuka, atau lebih tepatnya, jika juringnya adalah setengah lingkaran, maka kerucut yang terbentuk memiliki tinggi t yang memenuhi:
a^2 = r^2 + t^2
(2r)^2 = r^2 + t^2
4r^2 = r^2 + t^2
3r^2 = t^2
t = r * sqrt(3)

c. Sudut pusat juring kurang dari 180 derajat (0 < α < π radian):
Jika α < π, maka:
2πr / a < π
2r / a < 1
2r < a

Ini berarti jari-jari alas kerucut lebih kecil dari setengah panjang garis pelukis (r < a/2). Dalam hal ini, alas kerucut relatif sempit dibandingkan dengan garis pelukisnya, menghasilkan sudut pusat juring yang kurang dari 180 derajat.

Secara umum, hubungan antara r, t, dan a selalu diberikan oleh teorema Pythagoras untuk kerucut: a^2 = r^2 + t^2. Namun, nilai sudut pusat juring (α) yang membentuk selimut kerucut membatasi rasio antara r dan a, yang secara implisit juga membatasi nilai t.