Tuliskan semua faktor bulat dari pemfaktoran ekspresi

a. (x-2)(x+2)(x^2+4)(x^4+16)(x^8+256)(x^16+65536) dan kombinasinya. b. (x-3)(x+3)(x^2+9)(x^4+81) dan kombinasinya.

Pembahasan

Untuk memfaktorkan ekspresi aljabar yang diberikan, kita akan menggunakan sifat-sifat pemfaktoran. 

a. \(x^{32} - 2^{32}\)
Ekspresi ini adalah bentuk selisih kuadrat \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Kita bisa memecahnya berulang kali:
\(x^{32} - 2^{32} = (x^{16} - 2^{16})(x^{16} + 2^{16})
esame
= (x^8 - 2^8)(x^8 + 2^8)(x^{16} + 2^{16})
esame
= (x^4 - 2^4)(x^4 + 2^4)(x^8 + 2^8)(x^{16} + 2^{16})
esame
= (x^2 - 2^2)(x^2 + 2^2)(x^4 + 2^4)(x^8 + 2^8)(x^{16} + 2^{16})
esame
= (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4^2)(x^4 + 2^4)(x^8 + 2^8)(x^{16} + 2^{16})
Faktor-faktor bulat dari ekspresi ini meliputi \((x-2)\), \((x+2)\), \((x^2 - 4)\), \((x^4 - 16)\), \((x^8 - 256)\), \((x^{16} - 65536)\), dan kombinasi dari faktor-faktor ini, serta \((x^{16} + 2^{16})\) dan faktor-faktor positifnya.

b. \((x^8 - 3^8)\)
Sama seperti sebelumnya, kita gunakan selisih kuadrat:
\(x^8 - 3^8 = (x^4 - 3^4)(x^4 + 3^4)
esame
= (x^2 - 3^2)(x^2 + 3^2)(x^4 + 3^4)
esame
= (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)(x^4 + 81)
Faktor-faktor bulat dari ekspresi ini adalah \((x-3)\), \((x+3)\), \((x^2 - 9)\), \((x^4 - 81)\), \((x^8 - 6561)\), dan kombinasi dari faktor-faktor ini, serta \((x^4 + 81)\) dan faktor-faktor positifnya.