Tulislah kurva dan koordinat titik singgung berikut dengan

Koordinat titik singgung: (pi/4, akar(2)), Gradien: 0

Pembahasan

Untuk menuliskan kurva y = sinx + cosx di titik berordinat akar(2) dan terletak di kuadran I, kita perlu mencari nilai x terlebih dahulu dan kemudian menghitung gradiennya.

1. Mencari koordinat x:
Karena ordinatnya adalah akar(2), maka y = akar(2).
sinx + cosx = akar(2)
Kita bisa membagi kedua sisi dengan akar(2):
(1/akar(2))sinx + (1/akar(2))cosx = 1
Kita tahu bahwa sin(pi/4) = 1/akar(2) dan cos(pi/4) = 1/akar(2).
Maka persamaan menjadi:
cos(pi/4)sinx + sin(pi/4)cosx = 1
Menggunakan identitas penjumlahan sinus (sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB):
sin(x + pi/4) = 1
Nilai sinus yang sama dengan 1 adalah pi/2.
Jadi, x + pi/4 = pi/2
x = pi/2 - pi/4
x = pi/4

Koordinat titik singgung adalah (pi/4, akar(2)). Titik ini terletak di kuadran I karena pi/4 berada di antara 0 dan pi/2.

2. Menghitung gradien:
Gradien kurva adalah turunan pertama dari fungsi y terhadap x, yaitu dy/dx.
y = sinx + cosx
dy/dx = d/dx(sinx) + d/dx(cosx)
dy/dx = cosx - sinx

Sekarang kita substitusikan nilai x = pi/4 ke dalam turunan:
Gradien (m) = cos(pi/4) - sin(pi/4)
m = (1/akar(2)) - (1/akar(2))
m = 0

Jadi, kurva y = sinx + cosx di titik berordinat akar(2) yang terletak di kuadran I memiliki koordinat titik singgung (pi/4, akar(2)) dengan gradien 0.