Tunjukkan bahwa dalam setiap deret aritmetika selalu

Rumus \( S_{3n} = 3(S_{2n} - S_n) \) berlaku untuk setiap deret aritmetika dengan menggunakan manipulasi aljabar dari rumus jumlah suku deret aritmetika.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa \( S_{3n} = 3(S_{2n} - S_n) \) berlaku dalam setiap deret aritmetika, kita perlu menggunakan rumus jumlah suku pertama deret aritmetika.

Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah:
\( S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \)
dimana:
\( S_n \) adalah jumlah n suku pertama
\( n \) adalah banyaknya suku
\( a \) adalah suku pertama
\( b \) adalah beda atau selisih antar suku

Sekarang, mari kita substitusikan \( 3n \) dan \( 2n \) ke dalam rumus \( S_n \):

1. Hitung \( S_{3n} \):
   Ganti \( n \) dengan \( 3n \) dalam rumus \( S_n \).
   \( S_{3n} = \frac{3n}{2}(2a + (3n-1)b) \)
   \( S_{3n} = \frac{3n}{2}(2a + 3nb - b) \)

2. Hitung \( S_{2n} \):
   Ganti \( n \) dengan \( 2n \) dalam rumus \( S_n \).
   \( S_{2n} = \frac{2n}{2}(2a + (2n-1)b) \)
   \( S_{2n} = n(2a + 2nb - b) \)

3. Hitung \( S_n \):
   Rumus dasarnya adalah \( S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \).

4. Hitung \( S_{2n} - S_n \):
   \( S_{2n} - S_n = n(2a + 2nb - b) - \frac{n}{2}(2a + nb - b) \)
   Samakan penyebutnya:
   \( S_{2n} - S_n = \frac{2n(2a + 2nb - b) - n(2a + nb - b)}{2} \)
   \( S_{2n} - S_n = \frac{4an + 4n^2b - 2nb - 2an - n^2b + nb}{2} \)
   \( S_{2n} - S_n = \frac{2an + 3n^2b - nb}{2} \)
   \( S_{2n} - S_n = \frac{n(2a + 3nb - b)}{2} \)

5. Hitung \( 3(S_{2n} - S_n) \):
   \( 3(S_{2n} - S_n) = 3 \times \frac{n(2a + 3nb - b)}{2} \)
   \( 3(S_{2n} - S_n) = \frac{3n(2a + 3nb - b)}{2} \)

Bandingkan hasil \( S_{3n} \) dengan \( 3(S_{2n} - S_n) \):

\( S_{3n} = \frac{3n}{2}(2a + 3nb - b) \)
\( 3(S_{2n} - S_n) = \frac{3n(2a + 3nb - b)}{2} \)

Kedua hasil tersebut identik. Dengan demikian, terbukti bahwa dalam setiap deret aritmetika selalu berlaku \( S_{3n} = 3(S_{2n} - S_n) \).