Tunjukkan bahwa: lim x -> 0 ((sin(ax))/(bx))=a/b

Terbukti bahwa lim x -> 0 ((sin(ax))/(bx)) = a/b dengan menggunakan sifat limit trigonometri.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa lim x -> 0 ((sin(ax))/(bx)) = a/b, kita dapat menggunakan sifat-sifat limit trigonometri.

Kita tahu bahwa sifat dasar limit trigonometri menyatakan: lim x -> 0 (sin(x)/x) = 1.

Sekarang, mari kita manipulasi ekspresi lim x -> 0 ((sin(ax))/(bx)) agar sesuai dengan sifat tersebut:

lim x -> 0 ((sin(ax))/(bx))
= lim x -> 0 (1/b * (sin(ax))/x)

Kita bisa mengalikan dan membagi dengan 'a' di dalam limit untuk mendapatkan bentuk sin(ax)/ax:
= lim x -> 0 (1/b * (sin(ax))/(ax) * a)

Karena 'a' dan 'b' adalah konstanta, kita bisa mengeluarkannya dari limit:
= (a/b) * lim x -> 0 (sin(ax))/(ax)

Sekarang, kita substitusikan y = ax. Ketika x -> 0, maka y -> 0.
Jadi, limitnya menjadi:
= (a/b) * lim y -> 0 (sin(y))/y

Kita tahu bahwa lim y -> 0 (sin(y))/y = 1.
Oleh karena itu:
= (a/b) * 1
= a/b

Dengan demikian, terbukti bahwa lim x -> 0 ((sin(ax))/(bx)) = a/b.