Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11mathKalkulusLimit Fungsi

Tunjukkan bahwa limit x mendekati tak hingga

Pertanyaan

Tunjukkan bahwa limit x mendekati tak hingga dari (akar(4x^2+x) + akar(9x^2-x) - 5x) adalah 1/12.

Solusi

Verified

Limitnya adalah 1/12.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa limit x mendekati tak hingga dari (√(4x² + x) + √(9x² - x) - 5x) = 1/12, kita perlu memanipulasi ekspresi tersebut. Limit x→∞ [√(4x² + x) + √(9x² - x) - 5x] Kita bisa mengelompokkan dua suku pertama dan suku terakhir: = Limit x→∞ [√(4x² + x) + √(9x² - x)] - 5x Mari kita coba kalikan dengan konjugat untuk menghilangkan akar kuadrat: Pertama, kita faktorkan x dari dalam akar: √(4x² + x) = √(x²(4 + 1/x)) = |x|√(4 + 1/x). Karena x → ∞, |x| = x. √(9x² - x) = √(x²(9 - 1/x)) = |x|√(9 - 1/x). Karena x → ∞, |x| = x. Jadi, ekspresi menjadi: = Limit x→∞ [x√(4 + 1/x) + x√(9 - 1/x) - 5x] = Limit x→∞ x [√(4 + 1/x) + √(9 - 1/x) - 5] Sekarang, kita tahu bahwa saat x → ∞, 1/x → 0. Jadi, ekspresi di dalam kurung menjadi: √(4 + 0) + √(9 - 0) - 5 = √4 + √9 - 5 = 2 + 3 - 5 = 0. Ini memberikan bentuk tak tentu ∞ * 0, jadi kita perlu cara lain. Mari kita coba mengalikan dengan konjugat dari (√(4x² + x) - 5x) terlebih dahulu, atau gabungkan suku-suku dengan cara yang berbeda. Kita bisa menulis ulang ekspresi sebagai: Limit x→∞ [√(4x² + x) - 2x + √(9x² - x) - 3x] Perhatikan bahwa √(4x² + x) mendekati 2x untuk x besar, dan √(9x² - x) mendekati 3x untuk x besar. Mari kita gunakan ekspansi binomial atau kalikan dengan konjugat untuk setiap bagian. Bagian 1: Limit x→∞ [√(4x² + x) - 2x] Kalikan dengan konjugat (√(4x² + x) + 2x) / (√(4x² + x) + 2x): = Limit x→∞ [(4x² + x) - (2x)²] / [√(4x² + x) + 2x] = Limit x→∞ [4x² + x - 4x²] / [√(4x² + x) + 2x] = Limit x→∞ [x] / [√(x²(4 + 1/x)) + 2x] = Limit x→∞ [x] / [x√(4 + 1/x) + 2x] = Limit x→∞ [x] / [x(√(4 + 1/x) + 2)] = Limit x→∞ 1 / (√(4 + 1/x) + 2) Saat x→∞, 1/x→0: = 1 / (√4 + 2) = 1 / (2 + 2) = 1/4. Bagian 2: Limit x→∞ [√(9x² - x) - 3x] Kalikan dengan konjugat (√(9x² - x) + 3x) / (√(9x² - x) + 3x): = Limit x→∞ [(9x² - x) - (3x)²] / [√(9x² - x) + 3x] = Limit x→∞ [9x² - x - 9x²] / [√(9x² - x) + 3x] = Limit x→∞ [-x] / [√(x²(9 - 1/x)) + 3x] = Limit x→∞ [-x] / [x√(9 - 1/x) + 3x] = Limit x→∞ [-x] / [x(√(9 - 1/x) + 3)] = Limit x→∞ -1 / (√(9 - 1/x) + 3) Saat x→∞, 1/x→0: = -1 / (√9 + 3) = -1 / (3 + 3) = -1/6. Jadi, total limitnya adalah jumlah dari kedua bagian: Total Limit = (1/4) + (-1/6) = (3/12) - (2/12) = 1/12. Ini menunjukkan bahwa limitnya memang 1/12.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Konsep Limit, Limit Fungsi Di Tak Hingga
Section: Limit Fungsi Aljabar, Teknik Penyelesaian Limit

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...