Tunjukkan bahwa limit x mendekati tak hingga

Limitnya adalah 1/12.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa limit x mendekati tak hingga dari (√(4x² + x) + √(9x² - x) - 5x) = 1/12, kita perlu memanipulasi ekspresi tersebut.

Limit x→∞ [√(4x² + x) + √(9x² - x) - 5x]

Kita bisa mengelompokkan dua suku pertama dan suku terakhir:
= Limit x→∞ [√(4x² + x) + √(9x² - x)] - 5x

Mari kita coba kalikan dengan konjugat untuk menghilangkan akar kuadrat:
Pertama, kita faktorkan x dari dalam akar:
√(4x² + x) = √(x²(4 + 1/x)) = |x|√(4 + 1/x). Karena x → ∞, |x| = x.
√(9x² - x) = √(x²(9 - 1/x)) = |x|√(9 - 1/x). Karena x → ∞, |x| = x.

Jadi, ekspresi menjadi:
= Limit x→∞ [x√(4 + 1/x) + x√(9 - 1/x) - 5x]
= Limit x→∞ x [√(4 + 1/x) + √(9 - 1/x) - 5]

Sekarang, kita tahu bahwa saat x → ∞, 1/x → 0.
Jadi, ekspresi di dalam kurung menjadi:
√(4 + 0) + √(9 - 0) - 5 = √4 + √9 - 5 = 2 + 3 - 5 = 0.

Ini memberikan bentuk tak tentu ∞ * 0, jadi kita perlu cara lain.

Mari kita coba mengalikan dengan konjugat dari (√(4x² + x) - 5x) terlebih dahulu, atau gabungkan suku-suku dengan cara yang berbeda.

Kita bisa menulis ulang ekspresi sebagai:
Limit x→∞ [√(4x² + x) - 2x + √(9x² - x) - 3x]

Perhatikan bahwa √(4x² + x) mendekati 2x untuk x besar, dan √(9x² - x) mendekati 3x untuk x besar.
Mari kita gunakan ekspansi binomial atau kalikan dengan konjugat untuk setiap bagian.

Bagian 1: Limit x→∞ [√(4x² + x) - 2x]
Kalikan dengan konjugat (√(4x² + x) + 2x) / (√(4x² + x) + 2x):
= Limit x→∞ [(4x² + x) - (2x)²] / [√(4x² + x) + 2x]
= Limit x→∞ [4x² + x - 4x²] / [√(4x² + x) + 2x]
= Limit x→∞ [x] / [√(x²(4 + 1/x)) + 2x]
= Limit x→∞ [x] / [x√(4 + 1/x) + 2x]
= Limit x→∞ [x] / [x(√(4 + 1/x) + 2)]
= Limit x→∞ 1 / (√(4 + 1/x) + 2)
Saat x→∞, 1/x→0:
= 1 / (√4 + 2) = 1 / (2 + 2) = 1/4.

Bagian 2: Limit x→∞ [√(9x² - x) - 3x]
Kalikan dengan konjugat (√(9x² - x) + 3x) / (√(9x² - x) + 3x):
= Limit x→∞ [(9x² - x) - (3x)²] / [√(9x² - x) + 3x]
= Limit x→∞ [9x² - x - 9x²] / [√(9x² - x) + 3x]
= Limit x→∞ [-x] / [√(x²(9 - 1/x)) + 3x]
= Limit x→∞ [-x] / [x√(9 - 1/x) + 3x]
= Limit x→∞ [-x] / [x(√(9 - 1/x) + 3)]
= Limit x→∞ -1 / (√(9 - 1/x) + 3)
Saat x→∞, 1/x→0:
= -1 / (√9 + 3) = -1 / (3 + 3) = -1/6.

Jadi, total limitnya adalah jumlah dari kedua bagian:
Total Limit = (1/4) + (-1/6)
= (3/12) - (2/12)
= 1/12.

Ini menunjukkan bahwa limitnya memang 1/12.