Tunjukkan bahwa: sin 20 sin 40 sin 60 sin 80=3/16

Terbukti bahwa sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° = 3/16 menggunakan identitas trigonometri sin(x) sin(60°-x) sin(60°+x) = 1/4 sin(3x).

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° = 3/16, kita dapat menggunakan beberapa identitas trigonometri.

Identitas yang akan digunakan:
1. sin(60°) = √3/2
2. sin(A) sin(B) = 1/2 [cos(A - B) - cos(A + B)]
3. cos(x) = sin(90° - x)
4. cos(A) cos(B) = 1/2 [cos(A - B) + cos(A + B)]
5. cos(60°) = 1/2
6. 2 cos(x) sin(y) = sin(x+y) - sin(x-y)
7. 2 sin(x) sin(y) = cos(x-y) - cos(x+y)
8. 2 cos(x) cos(y) = cos(x-y) + cos(x+y)
9. sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x)
10. cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)

Mari kita mulai dengan mengelompokkan suku-suku:
(sin 20° sin 40°) (sin 60° sin 80°)

Gunakan identitas sin(A) sin(B) = 1/2 [cos(A - B) - cos(A + B)]:

Untuk sin 20° sin 40°:
A = 40°, B = 20°
sin 40° sin 20° = 1/2 [cos(40° - 20°) - cos(40° + 20°)]
= 1/2 [cos(20°) - cos(60°)]
= 1/2 [cos(20°) - 1/2]
= 1/2 cos(20°) - 1/4

Untuk sin 60° sin 80°:
sin 60° = √3/2
sin 80°
Jadi, (√3/2) sin 80°

Ini mungkin bukan cara termudah. Mari kita coba pendekatan lain:

Kita tahu sin 60° = √3/2.
Jadi, kita perlu membuktikan: sin 20° sin 40° sin 80° = 3/8.

Gunakan identitas sin(x) sin(60°-x) sin(60°+x) = 1/4 sin(3x).

Mari kita ubah sin 40° dan sin 80°:
sin 40° = sin(60° - 20°)
sin 80° = sin(60° + 20°)

Maka, sin 20° sin 40° sin 80° = sin 20° sin(60° - 20°) sin(60° + 20°).

Menggunakan identitas sin(x) sin(60°-x) sin(60°+x) = 1/4 sin(3x):
sin 20° sin(60°-20°) sin(60°+20°) = 1/4 sin(3 * 20°)
= 1/4 sin(60°)
= 1/4 (√3/2)
= √3/8

Sekarang, kita kembali ke soal awal:
sin 20° sin 40° sin 60° sin 80°
= (sin 20° sin 40° sin 80°) * sin 60°
= (√3/8) * (√3/2)
= (√3 * √3) / (8 * 2)
= 3 / 16

Terbukti bahwa sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° = 3/16.