Nilai dari limit x->0 (cos x-cos 3x)/(1-cos 2x)= ....

Nilai limit adalah 2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan aturan L'Hopital karena substitusi langsung $x=0$ akan menghasilkan bentuk tak tentu $0/0$ (cos 0 = 1, jadi cos 0 - cos 0 = 0, dan 1 - cos 0 = 0).

Limit: $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \cos 3x}{1 - \cos 2x}$

Langkah 1: Terapkan aturan L'Hopital dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah terhadap x.

Turunan pembilang: $\frac{d}{dx}(\cos x - \cos 3x) = -\sin x - (-\sin 3x) \cdot 3 = -\sin x + 3\sin 3x$

Turunan penyebut: $\frac{d}{dx}(1 - \cos 2x) = 0 - (-\sin 2x) \cdot 2 = 2\sin 2x$

Sehingga, limit menjadi: $\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x + 3\sin 3x}{2\sin 2x}$

Langkah 2: Substitusikan $x=0$ lagi. Kita masih mendapatkan bentuk tak tentu $0/0$ (karena sin 0 = 0).

Langkah 3: Terapkan aturan L'Hopital lagi.

Turunan pembilang baru: $\frac{d}{dx}(-\sin x + 3\sin 3x) = -\cos x + 3(\cos 3x) \cdot 3 = -\cos x + 9\cos 3x$

Turunan penyebut baru: $\frac{d}{dx}(2\sin 2x) = 2(\cos 2x) \cdot 2 = 4\cos 2x$

Sehingga, limit menjadi: $\lim_{x \to 0} \frac{-\cos x + 9\cos 3x}{4\cos 2x}$

Langkah 4: Substitusikan $x=0$ sekarang.
Pembilang: $-\cos 0 + 9\cos (3 \cdot 0) = -1 + 9(1) = -1 + 9 = 8$

Penyebut: $4\cos (2 \cdot 0) = 4\cos 0 = 4(1) = 4$

Jadi, nilai limitnya adalah $8/4 = 2$.

Alternatif menggunakan identitas trigonometri dan limit $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$:
$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \cos 3x}{1 - \cos 2x}$

Gunakan identitas: $\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ dan $1 - \cos 2A = 2 \sin^2 A$.

Pembilang: $\cos x - \cos 3x = -2 \sin\left(\frac{x+3x}{2}\right) \sin\left(\frac{x-3x}{2}\right) = -2 \sin(2x) \sin(-x) = 2 \sin(2x) \sin(x)$ (karena $\sin(-x) = -\sin x$).

Penyebut: $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$.

Limit menjadi: $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin(2x) \sin(x)}{2 \sin^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x) \sin(x)}{\sin^2 x}$

Gunakan identitas $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$\lim_{x \to 0} \frac{(2 \sin x \cos x) \sin(x)}{\sin^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 x \cos x}{\sin^2 x}$

Batalkan $\sin^2 x$:
$\lim_{x \to 0} 2 \cos x$

Substitusikan $x=0$: $2 \cos 0 = 2(1) = 2$.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.