Tunjukkan bahwa sin(x + 75) = 1/4 akar(2) [( akar(3)-1)

Identitas terbukti dengan menggunakan rumus penjumlahan sinus dan nilai-nilai trigonometri untuk sudut 75 derajat.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas ini, kita akan menggunakan rumus penjumlahan sinus: sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB.

Dalam kasus ini, A = x dan B = 75 derajat.

Jadi, sin(x + 75) = sinx cos75 + cosx sin75.

Sekarang kita perlu mencari nilai cos75 dan sin75.
Kita bisa menggunakan rumus penjumlahan sudut untuk 45 dan 30 derajat:
cos75 = cos(45 + 30) = cos45 cos30 - sin45 sin30 = (1/2 * akar(2)) * (1/2 * akar(3)) - (1/2 * akar(2)) * (1/2) = 1/4 * akar(2) * akar(3) - 1/4 * akar(2) = 1/4 * akar(2) * (akar(3) - 1)

sin75 = sin(45 + 30) = sin45 cos30 + cos45 sin30 = (1/2 * akar(2)) * (1/2 * akar(3)) + (1/2 * akar(2)) * (1/2) = 1/4 * akar(2) * akar(3) + 1/4 * akar(2) = 1/4 * akar(2) * (akar(3) + 1)

Sekarang substitusikan kembali nilai cos75 dan sin75 ke dalam persamaan awal:
sin(x + 75) = sinx * [1/4 * akar(2) * (akar(3) - 1)] + cosx * [1/4 * akar(2) * (akar(3) + 1)]
sin(x + 75) = 1/4 * akar(2) * [(akar(3) - 1) sinx + (akar(3) + 1) cosx]

Terbukti.