Turunan dari y=sin 2x/(1+cos 2x) adalah ....

Turunan dari y = sin 2x / (1 + cos 2x) adalah sec^2(x).

Pembahasan

Untuk mencari turunan dari y = sin(2x) / (1 + cos(2x)), kita akan menggunakan aturan kuosien.
Aturan kuosien menyatakan bahwa jika y = u/v, maka dy/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2.
Dalam kasus ini:
u = sin(2x)
v = 1 + cos(2x)

Sekarang kita cari turunan dari u dan v:
du/dx (turunan dari sin(2x)) = cos(2x) * 2 = 2cos(2x)
dv/dx (turunan dari 1 + cos(2x)) = -sin(2x) * 2 = -2sin(2x)

Sekarang kita masukkan ke dalam rumus aturan kuosien:
dy/dx = [(1 + cos(2x)) * (2cos(2x)) - (sin(2x)) * (-2sin(2x))] / (1 + cos(2x))^2
dy/dx = [2cos(2x) + 2cos^2(2x) + 2sin^2(2x)] / (1 + cos(2x))^2

Menggunakan identitas trigonometri sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1:
dy/dx = [2cos(2x) + 2(cos^2(2x) + sin^2(2x))] / (1 + cos(2x))^2
dy/dx = [2cos(2x) + 2(1)] / (1 + cos(2x))^2
dy/dx = [2cos(2x) + 2] / (1 + cos(2x))^2
dy/dx = 2(cos(2x) + 1) / (1 + cos(2x))^2

Kita bisa menyederhanakan dengan membatalkan salah satu faktor (1 + cos(2x)) dari pembilang dan penyebut:
dy/dx = 2 / (1 + cos(2x))

Menggunakan identitas trigonometri 1 + cos(2θ) = 2cos^2(θ):
dy/dx = 2 / (2cos^2(x))
dy/dx = 1 / cos^2(x)

Karena 1/cos(x) = sec(x), maka 1/cos^2(x) = sec^2(x).
Jadi, turunan dari y = sin(2x)/(1+cos(2x)) adalah sec^2(x).