u=(3 -2) dan v=(1 -3)a. Tentukan kosinus sudut yang

a. cos(θ) = 9/√130; b. |proj_v u| = 9/√10; c. proj_v u = (9/10, -27/10)

Pembahasan

Diberikan vektor u = (3, -2) dan v = (1, -3).

a. Menentukan kosinus sudut yang dibentuk oleh kedua vektor:
Rumus kosinus sudut antara dua vektor adalah:
cos(θ) = (u · v) / (|u| * |v|)

Hitung dot product (u · v):
u · v = (3 * 1) + (-2 * -3) = 3 + 6 = 9

Hitung panjang vektor |u|:
|u| = sqrt(3^2 + (-2)^2) = sqrt(9 + 4) = sqrt(13)

Hitung panjang vektor |v|:
|v| = sqrt(1^2 + (-3)^2) = sqrt(1 + 9) = sqrt(10)

Hitung kosinus sudutnya:
cos(θ) = 9 / (sqrt(13) * sqrt(10))
cos(θ) = 9 / sqrt(130)

b. Menentukan panjang proyeksi vektor u pada vektor v:
Rumus panjang proyeksi skalar ortogonal (proyeksi u pada v) adalah:
|proj_v u| = |u · v| / |v|

|proj_v u| = |9| / sqrt(10)
|proj_v u| = 9 / sqrt(10)

Untuk merasionalkan penyebut:
|proj_v u| = (9 * sqrt(10)) / (sqrt(10) * sqrt(10)) = 9 * sqrt(10) / 10

c. Menentukan proyeksi vektor ortogonal vektor u pada vektor v:
Rumus proyeksi vektor ortogonal (proyeksi u pada v) adalah:
proj_v u = ((u · v) / |v|^2) * v

proj_v u = (9 / (sqrt(10))^2) * (1, -3)
proj_v u = (9 / 10) * (1, -3)
proj_v u = (9/10, -27/10)

Jadi:
a. Kosinus sudut yang dibentuk oleh kedua vektor adalah 9 / sqrt(130).
b. Panjang proyeksi vektor u pada vektor v adalah 9 / sqrt(10) atau 9 * sqrt(10) / 10.
c. Proyeksi vektor ortogonal vektor u pada vektor v adalah (9/10, -27/10).