Untuk fungsi berikut; tentukan persamaan garis singgung;

Persamaan garis singgung: y = x + 1; Persamaan garis normal: y = -x + 3; Panjang garis singgung: 2√2; Panjang subtangen: 2; Panjang subnormal: 2.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung, persamaan garis normal, panjang garis singgung, panjang garis subtangen, dan panjang subnormal dari fungsi f(x) = 3x - x² pada x = 1, kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:

1.  **Tentukan titik pada kurva:**
    Substitusikan x = 1 ke dalam fungsi f(x):
f(1) = 3(1) - (1)² = 3 - 1 = 2.
    Jadi, titik pada kurva adalah (1, 2).

2.  **Tentukan gradien garis singgung (m_t):**
    Cari turunan pertama dari f(x):
f'(x) = d/dx (3x - x²) = 3 - 2x.
    Substitusikan x = 1 ke dalam f'(x):
m_t = f'(1) = 3 - 2(1) = 3 - 2 = 1.
    Jadi, gradien garis singgung adalah 1.

3.  **Tentukan persamaan garis singgung:**
Gunakan rumus y - y₁ = m_t(x - x₁):
y - 2 = 1(x - 1)
y - 2 = x - 1
y = x + 1.
    Persamaan garis singgung adalah y = x + 1.

4.  **Tentukan gradien garis normal (m_n):**
    Gradien garis normal adalah negatif kebalikan dari gradien garis singgung:
m_n = -1 / m_t = -1 / 1 = -1.
    Jadi, gradien garis normal adalah -1.

5.  **Tentukan persamaan garis normal:**
Gunakan rumus y - y₁ = m_n(x - x₁):
y - 2 = -1(x - 1)
y - 2 = -x + 1
y = -x + 3.
    Persamaan garis normal adalah y = -x + 3.

6.  **Tentukan panjang garis singgung (Panjang TG):**
    Panjang garis singgung dihitung dari titik singgung ke titik potong garis singgung dengan sumbu-x. Titik potong dengan sumbu-x diperoleh saat y = 0 pada persamaan garis singgung (y = x + 1):
    0 = x + 1 => x = -1.
    Titik potong dengan sumbu-x adalah (-1, 0).
    Gunakan rumus jarak antara dua titik (1, 2) dan (-1, 0):
    Panjang TG = √[(-1 - 1)² + (0 - 2)²] = √[(-2)² + (-2)²] = √[4 + 4] = √8 = 2√2.

7.  **Tentukan panjang subtangen (Panjang Sub-TG):**
    Subtangen adalah proyeksi garis singgung pada sumbu-x. Panjang subtangen adalah jarak antara titik potong garis singgung dengan sumbu-x dan proyeksi titik singgung pada sumbu-x (yaitu, nilai x dari titik singgung).
    Titik potong garis singgung dengan sumbu-x adalah (-1, 0).
    Proyeksi titik singgung (1, 2) pada sumbu-x adalah (1, 0).
    Panjang Sub-TG = |x_titik_potong_sumbu-x - x_titik_singgung|
    Panjang Sub-TG = |-1 - 1| = |-2| = 2.

8.  **Tentukan panjang garis normal (Panjang NG):**
    Panjang garis normal dihitung dari titik singgung ke titik potong garis normal dengan sumbu-x. Titik potong dengan sumbu-x diperoleh saat y = 0 pada persamaan garis normal (y = -x + 3):
    0 = -x + 3 => x = 3.
    Titik potong dengan sumbu-x adalah (3, 0).
    Gunakan rumus jarak antara dua titik (1, 2) dan (3, 0):
    Panjang NG = √[(3 - 1)² + (0 - 2)²] = √[(2)² + (-2)²] = √[4 + 4] = √8 = 2√2.

9.  **Tentukan panjang subnormal (Panjang Sub-N):**
    Subnormal adalah proyeksi garis normal pada sumbu-x. Panjang subnormal adalah jarak antara titik potong garis normal dengan sumbu-x dan proyeksi titik singgung pada sumbu-x.
    Titik potong garis normal dengan sumbu-x adalah (3, 0).
    Proyeksi titik singgung (1, 2) pada sumbu-x adalah (1, 0).
    Panjang Sub-N = |x_titik_potong_sumbu-x - x_titik_singgung|
    Panjang Sub-N = |3 - 1| = |2| = 2.

Jawaban ringkas: Persamaan garis singgung: y = x + 1; Persamaan garis normal: y = -x + 3; Panjang garis singgung: 2√2; Panjang subtangen: 2; Panjang subnormal: 2.