Untuk membuat gula pada suatu pabrik diperlukan tebu jenis

Maksimum berat gula yang dapat dihasilkan adalah 21 ton.

Pembahasan

Ini adalah soal program linear yang bertujuan untuk memaksimalkan keuntungan (jumlah gula). Kita perlu menetapkan variabel, fungsi tujuan, dan kendala. Misalkan: x = jumlah peti kemas tebu jenis x. y = jumlah peti kemas tebu jenis y. Kendala: 1. Banyaknya tebu x dan y yang bisa diolah tidak lebih dari 6 peti kemas: x + y ≤ 6. 2. Berat total keduanya tidak boleh lebih dari 15 ton (karena 1 peti kemas tebu x beratnya 2 ton dan untuk tebu y beratnya 3 ton): 2x + 3y ≤ 15. 3. Jumlah peti kemas tidak boleh negatif: x ≥ 0, y ≥ 0. Fungsi Tujuan: Memaksimalkan jumlah gula yang dihasilkan. 1 peti kemas tebu x menghasilkan 3 ton gula, dan 1 peti kemas tebu y menghasilkan 4 ton gula. Jadi, fungsi tujuannya adalah Z = 3x + 4y. Kita perlu mencari nilai maksimum Z dengan memenuhi semua kendala. Kita dapat menggunakan metode grafik atau substitusi untuk menemukan titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi kendala. Titik-titik pojok ditemukan dengan menyelesaikan persamaan dari kendala: a) x + y = 6 b) 2x + 3y = 15 c) x = 0 d) y = 0. Mari cari titik potong: Dari (a), y = 6 - x. Substitusikan ke (b): 2x + 3(6 - x) = 15 -> 2x + 18 - 3x = 15 -> -x = 15 - 18 -> -x = -3 -> x = 3. Jika x = 3, maka y = 6 - 3 = 3. Titik potong (3, 3). Sekarang cari titik potong kendala lain: Titik potong x + y = 6 dengan sumbu x (y=0): x = 6. Titik (6, 0). Titik potong x + y = 6 dengan sumbu y (x=0): y = 6. Titik (0, 6). Titik potong 2x + 3y = 15 dengan sumbu x (y=0): 2x = 15 -> x = 7.5. Titik (7.5, 0). Titik potong 2x + 3y = 15 dengan sumbu y (x=0): 3y = 15 -> y = 5. Titik (0, 5). Sekarang kita perlu menemukan titik-titik pojok yang memenuhi SEMUA kendala (x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 6, 2x + 3y ≤ 15). Titik-titik pojok yang mungkin adalah: (0, 0) - memenuhi semua. (6, 0) - memenuhi x+y≤6, tapi 2(6)+3(0)=12≤15 (memenuhi). Titik (6, 0). (0, 5) - memenuhi 2x+3y≤15, tapi 0+5=5≤6 (memenuhi). Titik (0, 5). (3, 3) - memenuhi x+y≤6 (3+3=6), dan 2(3)+3(3)=6+9=15≤15 (memenuhi). Titik (3, 3). Kita juga perlu memeriksa titik potong antara 2x+3y=15 dan y=0 (titik 7.5, 0), namun ini tidak memenuhi x+y≤6 karena 7.5+0 > 6. Dan titik potong antara x+y=6 dan x=0 (titik 0, 6), namun ini tidak memenuhi 2x+3y≤15 karena 2(0)+3(6)=18 > 15. Jadi, titik-titik pojok yang valid adalah (0, 0), (6, 0), (0, 5), dan (3, 3). Sekarang kita evaluasi fungsi tujuan Z = 3x + 4y pada setiap titik pojok: Di (0, 0): Z = 3(0) + 4(0) = 0. Di (6, 0): Z = 3(6) + 4(0) = 18. Di (0, 5): Z = 3(0) + 4(5) = 20. Di (3, 3): Z = 3(3) + 4(3) = 9 + 12 = 21. Nilai maksimum Z adalah 21 ton, yang dicapai ketika x = 3 peti kemas tebu jenis x dan y = 3 peti kemas tebu jenis y.