Untuk menambah penghasilan, seorang ibu memproduksi dua

Keuntungan terbesar yang diperoleh ibu tersebut adalah Rp3.000.000,00.

Pembahasan

Soal ini merupakan soal program linear yang bertujuan untuk memaksimalkan keuntungan.

Mari kita definisikan variabel:
- Misalkan x = jumlah kue jenis A
- Misalkan y = jumlah kue jenis B

Fungsi Tujuan (Keuntungan):
Keuntungan kue A = 40% dari Rp200.000,00 = 0.40 * 200.000 = Rp80.000,00
Keuntungan kue B = 30% dari Rp300.000,00 = 0.30 * 300.000 = Rp90.000,00
Fungsi Keuntungan, Z = 80.000x + 90.000y

Kendala:
1. Kendala Modal:
Modal kue A = Rp200.000,00
Modal kue B = Rp300.000,00
Total modal tersedia = Rp9.000.000,00
Kendala: 200.000x + 300.000y ≤ 9.000.000
Disederhanakan: 2x + 3y ≤ 90

2. Kendala Jumlah Produksi:
Jumlah maksimum kue = 35
Kendala: x + y ≤ 35

3. Kendala Non-negatif:
x ≥ 0
y ≥ 0

Sekarang kita cari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian yang dibatasi oleh kendala-kendala tersebut.

Titik Potong Kendala:

a) x = 0:
   Dari 2x + 3y ≤ 90 => 3y ≤ 90 => y ≤ 30. Titik (0, 30).
   Dari x + y ≤ 35 => y ≤ 35. Titik (0, 35).
   Titik potong dengan sumbu y adalah (0, 30) karena kendala modal lebih membatasi.

b) y = 0:
   Dari 2x + 3y ≤ 90 => 2x ≤ 90 => x ≤ 45. Titik (45, 0).
   Dari x + y ≤ 35 => x ≤ 35. Titik (35, 0).
   Titik potong dengan sumbu x adalah (35, 0) karena kendala jumlah produksi lebih membatasi.

c) Titik potong antara 2x + 3y = 90 dan x + y = 35:
   Dari x + y = 35, maka x = 35 - y.
   Substitusikan ke persamaan pertama:
   2(35 - y) + 3y = 90
   70 - 2y + 3y = 90
   70 + y = 90
   y = 20.
   Substitusikan y = 20 ke x = 35 - y:
   x = 35 - 20 = 15.
   Titik potong adalah (15, 20).

Titik-titik Pojok yang Sah:
- (0, 0)
- (35, 0) (karena x+y <= 35 membatasi x ketika y=0)
- (0, 30) (karena 2x+3y <= 90 membatasi y ketika x=0)
- (15, 20)

Evaluasi Fungsi Keuntungan Z = 80.000x + 90.000y pada setiap titik pojok:

- Di (0, 0): Z = 80.000(0) + 90.000(0) = 0
- Di (35, 0): Z = 80.000(35) + 90.000(0) = 2.800.000
- Di (0, 30): Z = 80.000(0) + 90.000(30) = 2.700.000
- Di (15, 20): Z = 80.000(15) + 90.000(20) = 1.200.000 + 1.800.000 = 3.000.000

Keuntungan terbesar yang diperoleh ibu tersebut adalah Rp3.000.000,00.