Untuk menentukan tinggi bukit (t), seorang pengamat

Penurunan rumus melibatkan penerapan aturan sinus pada segitiga yang dibentuk oleh titik pengamatan dan puncak bukit, serta penggunaan identitas trigonometri. Penurunan standar menghasilkan t = d sin(alpha)sin(beta) / sin(beta - alpha), yang berbeda dari rumus yang diminta.

Pembahasan

Untuk menentukan tinggi bukit (t), kita dapat menggunakan aturan sinus pada dua segitiga yang terbentuk. Misalkan puncak bukit adalah P, dan titik di permukaan tanah adalah A dan B, dengan P di atas titik tengah antara A dan B jika dilihat dari atas. Namun, deskripsi soal menyebutkan pengukuran sudut elevasi dari titik A dan B yang berjarak d. Asumsikan titik A dan B berada pada garis lurus yang mengarah ke kaki bukit, dan tinggi bukit diukur dari kaki bukit tersebut. Misalkan kaki bukit adalah C, dan puncak bukit adalah P. Maka tinggi bukit adalah PC = t. Dari titik A, sudut elevasi ke P adalah \alpha, sehingga tan(\alpha) = t / AC. Dari titik B, sudut elevasi ke P adalah \beta, sehingga tan(\beta) = t / BC. Jarak AB = d. Hubungan antara AC dan BC bisa bermacam-macam tergantung posisi A dan B relatif terhadap C. Jika C terletak di antara A dan B, maka AC + BC = d. Jika B terletak di antara A dan C, maka AC - BC = d. Jika A terletak di antara B dan C, maka BC - AC = d.

Namun, jika soal mengacu pada soal trigonometri yang umum, di mana dari titik A diukur sudut elevasi \alpha, lalu bergerak ke titik B sejauh d searah garis pandang ke puncak bukit, sehingga titik B lebih dekat ke kaki bukit, maka berlaku:
tan(\alpha) = t / (jarak dari A ke kaki bukit)
tan(\beta) = t / (jarak dari B ke kaki bukit)
jika jarak dari B ke kaki bukit adalah x, maka jarak dari A ke kaki bukit adalah x + d.

t = (x + d) tan(\alpha)
t = x tan(\beta)

Maka, x tan(\beta) = (x + d) tan(\alpha)
x tan(\beta) = x tan(\alpha) + d tan(\alpha)
x (tan(\beta) - tan(\alpha)) = d tan(\alpha)
x = d tan(\alpha) / (tan(\beta) - tan(\alpha))

Substitusikan x kembali ke persamaan t:
t = [d tan(\alpha) / (tan(\beta) - tan(\alpha))] * tan(\beta)
t = d tan(\alpha) tan(\beta) / (tan(\beta) - tan(\alpha))

Untuk membuktikan t = (dsin alpha. cos beta /(Sin (alpha-beta))), kita ubah bentuk tan menjadi sin/cos:
t = d * (sin(alpha)/cos(alpha)) * (sin(beta)/cos(beta)) / ((sin(beta)/cos(beta)) - (sin(alpha)/cos(alpha)))
t = d * (sin(alpha)sin(beta) / (cos(alpha)cos(beta))) / ((sin(beta)cos(alpha) - cos(beta)sin(alpha)) / (cos(beta)cos(alpha)))
t = d * (sin(alpha)sin(beta) / (cos(alpha)cos(beta))) * ((cos(beta)cos(alpha)) / sin(beta)cos(alpha) - cos(beta)sin(alpha))
t = d * sin(alpha)sin(beta) / sin(beta)cos(alpha) - cos(beta)sin(alpha)

Menggunakan identitas sinus:
sin(beta)cos(alpha) - cos(beta)sin(alpha) = sin(beta - alpha)

Maka,
t = d * sin(alpha)sin(beta) / sin(beta - alpha)
Karena sin(-(beta - alpha)) = -sin(beta - alpha) = sin(alpha - beta), maka:
t = d * sin(alpha)sin(beta) / (-sin(alpha - beta))

Ini belum sesuai dengan rumus yang diminta. Mari kita cek ulang asumsi atau penggunaan aturan sinus/tangen.

Kembali ke gambar segitiga, jika A dan B adalah titik di tanah, dan P adalah puncak bukit dengan tinggi t. Misalkan C adalah titik di tanah tepat di bawah P. Maka PC = t. Sudut elevasi dari A adalah \alpha, sehingga tan(\alpha) = t/AC. Sudut elevasi dari B adalah \beta, sehingga tan(\beta) = t/BC. Jarak AB = d.
Dalam segitiga ABC, dengan sudut di A adalah \alpha, sudut di B adalah \beta (jika A dan B pada garis yang sama dari C), dan sudut di C adalah 90 derajat, ini tidak mungkin karena sudut elevasi diukur dari A dan B. 

Kita perlu mempertimbangkan segitiga APC dan BPC. Jika A, B, C segaris, dengan C di kaki bukit, dan A, B di depan C. Maka pada segitiga APC, sudut PAC = \alpha. Pada segitiga BPC, sudut PBC = \beta. Jarak AB = d.
Dalam segitiga PAB, sudut PAB = 180 - \alpha (jika \alpha adalah sudut dalam segitiga), atau kita gunakan sudut \alpha sebagai sudut elevasi. 

Jika kita menggunakan aturan sinus pada segitiga PAB:
Sudut APB = 180 - \alpha - (sudut PAB yang sebenarnya)
Jika sudut elevasi dari A adalah \alpha, dan dari B adalah \beta. Maka pada segitiga PAB:
Sudut PAB = \alpha
Sudut PBA = 180 - \beta (jika \beta adalah sudut elevasi dari B dan A, B segaris dengan C)

Mari kita asumsikan A dan B berada pada satu garis lurus yang mengarah ke kaki bukit C, dan A lebih jauh dari C daripada B. Maka jarak AC = x + d, dan jarak BC = x. Sudut elevasi dari A adalah \alpha, dari B adalah \beta.
Pada segitiga siku-siku BPC, tan(\beta) = t/x => x = t/tan(\beta).
Pada segitiga siku-siku APC, tan(\alpha) = t/(x+d) => x+d = t/tan(\alpha).
Gantikan x: (t/tan(\beta)) + d = t/tan(\alpha)
d = t/tan(\alpha) - t/tan(\beta)
d = t * (1/tan(\alpha) - 1/tan(\beta))
d = t * (cos(\alpha)/sin(\alpha) - cos(\beta)/sin(\beta))
d = t * (cos(\alpha)sin(\beta) - sin(\alpha)cos(\beta)) / (sin(\alpha)sin(\beta))
d = t * sin(\beta - \alpha) / (sin(\alpha)sin(\beta))
t = d * sin(\alpha)sin(\beta) / sin(\beta - \alpha)

Ini masih belum sesuai. Mari kita coba interpretasi lain atau rumus yang diberikan.
Rumus yang diminta: t = (dsin alpha. cos beta /(Sin (alpha-beta)))

Kita punya t = d * sin(alpha)sin(beta) / sin(beta - alpha).
Perhatikan penyebutnya, sin(beta - alpha) = -sin(alpha - beta).
Maka t = d * sin(alpha)sin(beta) / (-sin(alpha - beta))

Jika kita mengalikan pembilang dan penyebut dengan cos(alpha)cos(beta):
t = d * sin(alpha)sin(beta)cos(alpha)cos(beta) / (-sin(alpha - beta)cos(alpha)cos(beta))
Ini tidak menyederhanakan ke rumus yang diminta.

Mari kita coba bekerja mundur dari rumus yang diberikan:
t = (d sin \alpha cos \beta) / sin(\alpha - \beta)
Kita tahu bahwa sin(\alpha - \beta) = sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta.
Jadi, t = (d sin \alpha cos \beta) / (sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta).

Sekarang mari kita lihat dari sudut pandang geometri.
Misalkan P adalah puncak bukit, C adalah kaki bukit. PC = t.
A dan B adalah titik pengamatan di tanah, AB = d. A, B, C segaris. Sudut elevasi dari A ke P adalah \alpha, dari B ke P adalah \beta. Anggap A lebih jauh dari C daripada B.
Pada segitiga PAC, sudut PAC = \alpha. Pada segitiga PBC, sudut PBC = \beta.
Pada segitiga PAB, sudut PAB = \alpha. Sudut PBA = 180 - \beta. Sudut APB = 180 - \alpha - (180 - \beta) = \beta - \alpha.

Menggunakan aturan sinus pada segitiga PAB:
PB / sin(\alpha) = AB / sin(\beta - \alpha)
PB = AB * sin(\alpha) / sin(\beta - \alpha)
PB = d * sin(\alpha) / sin(\beta - \alpha).

Pada segitiga siku-siku PBC:
t = PB * sin(\beta)
t = [d * sin(\alpha) / sin(\beta - \alpha)] * sin(\beta)
t = d * sin(\alpha) sin(\beta) / sin(\beta - \alpha).

Sekali lagi, kita mendapatkan hasil yang berbeda. Ada kemungkinan interpretasi soal yang berbeda atau kesalahan dalam rumus yang diberikan atau dalam penurunannya.

Namun, jika kita mengikuti penurunan yang umum untuk masalah serupa di mana titik A, B, dan kaki bukit C segaris, dan B berada di antara A dan C, maka sudut di A adalah \alpha, sudut di B adalah \beta, dan jarak AB = d. Maka pada segitiga PAB:
Sudut PAB = \alpha
Sudut PBC = \beta
Pada segitiga PAB, sudut APB = 180 - \alpha - (180 - \beta) = \beta - \alpha. (Ini jika \beta di B mengarah ke C, dan A di luar BC)

Jika sudut elevasi dari A adalah \alpha, dan dari B adalah \beta, dan B lebih dekat ke bukit, maka:
Pada segitiga siku-siku PBC, tan(\beta) = t/BC => BC = t/tan(\beta).
Pada segitiga siku-siku PAC, tan(\alpha) = t/AC => AC = t/tan(\alpha).
Karena B di antara A dan C, maka AC = AB + BC.
t/tan(\alpha) = d + t/tan(\beta)
t/tan(\alpha) - t/tan(\beta) = d
t(1/tan(\alpha) - 1/tan(\beta)) = d
t(cos(\alpha)/sin(\alpha) - cos(\beta)/sin(\beta)) = d
t( (cos(\alpha)sin(\beta) - sin(\alpha)cos(\beta)) / (sin(\alpha)sin(\beta)) ) = d
t( sin(\beta - \alpha) / (sin(\alpha)sin(\beta)) ) = d
t = d sin(\alpha)sin(\beta) / sin(\beta - \alpha).

Jika rumus yang diberikan adalah t = (dsin alpha. cos beta /(Sin (alpha-beta))), mari kita lihat apakah ada hubungan.
Sin(\alpha - \beta) = sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta.
Sin(\beta - \alpha) = sin \beta cos \alpha - cos \beta sin \alpha.
Perhatikan bahwa sin(\beta - \alpha) = -sin(\alpha - \beta).
Jadi, t = d sin(\alpha)sin(\beta) / (-sin(\alpha - \beta)).

Ada kemungkinan bahwa rumus yang diberikan dalam soal mungkin diturunkan dengan cara yang berbeda atau merupakan bentuk lain yang ekuivalen dalam kondisi tertentu.

Jika kita mengasumsikan bahwa pengamat mengukur sudut \alpha dari titik A, lalu bergerak sejauh d ke titik B, dan mengukur sudut \beta dari B. Misalkan tinggi bukit adalah t. Jarak dari B ke kaki bukit adalah x. Maka jarak dari A ke kaki bukit adalah x+d. (Ini asumsi umum).
Kita punya: tan(\alpha) = t / (x+d) dan tan(\beta) = t / x.
Dari persamaan kedua, x = t / tan(\beta).
Substitusi ke persamaan pertama: tan(\alpha) = t / (t/tan(\beta) + d)
tan(\alpha) = t * tan(\beta) / (t + d tan(\beta))
tan(\alpha) (t + d tan(\beta)) = t tan(\beta)
tan(\alpha) t + tan(\alpha) d tan(\beta) = t tan(\beta)
tan(\alpha) d tan(\beta) = t tan(\beta) - t tan(\alpha)
tan(\alpha) d tan(\beta) = t (tan(\beta) - tan(\alpha))
t = d tan(\alpha) tan(\beta) / (tan(\beta) - tan(\alpha))

Sekarang mari kita manipulasi hasil ini untuk mendapatkan bentuk yang diminta:
t = d * (sin(\alpha)/cos(\alpha)) * (sin(\beta)/cos(\beta)) / (sin(\beta)/cos(\beta) - sin(\alpha)/cos(\alpha))
t = d * (sin(\alpha)sin(\beta) / (cos(\alpha)cos(\beta))) / ((sin(\beta)cos(\alpha) - cos(\beta)sin(\alpha)) / (cos(\alpha)cos(\beta)))
t = d * sin(\alpha)sin(\beta) / (sin(\beta)cos(\alpha) - cos(\beta)sin(\alpha))
t = d * sin(\alpha)sin(\beta) / sin(\beta - \alpha)

Jika kita ingin mendapatkan t = (dsin alpha. cos beta /(Sin (alpha-beta))):
Kita perlu sin(\beta - \alpha) = -sin(\alpha - \beta).
Dan kita punya sin(\alpha)sin(\beta) di pembilang.
Untuk mendapatkan cos(\beta) di pembilang, ada kemungkinan ada kesalahan dalam penulisan rumus atau dalam penurunan saya.

Mari kita coba gunakan aturan sinus pada segitiga yang dibentuk oleh A, B, dan puncak bukit P. Misalkan C adalah kaki bukit. PC=t. Sudut PAB = \alpha, sudut PBC = \beta. Jarak AB=d. Sudut di A adalah \alpha. Sudut di B (luar segitiga PAB) adalah \beta, sehingga sudut PAB = 180 - \beta. Sudut APB = 180 - \alpha - (180 - \beta) = \beta - \alpha. Ini jika B antara A dan C.

Aturan Sinus pada segitiga PAB:
PB / sin(\alpha) = AB / sin(\beta - \alpha)
PB = d sin(\alpha) / sin(\beta - \alpha)

Pada segitiga siku-siku PBC:
t = PB sin(\beta) = d sin(\alpha) sin(\beta) / sin(\beta - \alpha).

Jika kita mengasumsikan sudut yang diukur dari B adalah sudut yang berbeda, atau A dan B tidak segaris dengan kaki bukit. Namun, interpretasi standar adalah segaris.

Ada kemungkinan rumus yang diberikan adalah:
t = d * tan(\alpha) tan(\beta) / (tan(\beta) - tan(\alpha))

Mari kita coba ubah bentuk yang diminta: t = (d sin \alpha cos \beta) / sin(\alpha - \beta).
Jika kita kali pembilang dan penyebut dengan 1/cos(\alpha)cos(\beta):
t = d * (sin \alpha cos \beta / (cos \alpha cos \beta)) / (sin(\alpha - \beta) / (cos \alpha cos \beta))
t = d * tan(\alpha) / ( (sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta) / (cos \alpha cos \beta) )
t = d * tan(\alpha) * cos \alpha cos \beta / (sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta)
t = d * sin(\alpha) cos \beta / (sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta)

Ini menunjukkan bahwa t = (dsin alpha. cos beta /(Sin (alpha-beta))) adalah sebuah identitas yang benar untuk suatu konfigurasi geometris tertentu, yang mungkin berbeda dari asumsi standar saya. 

Secara umum, soal ini meminta untuk menunjukkan sebuah identitas trigonometri yang berhubungan dengan pengukuran tinggi bukit. Penurunan yang benar sangat bergantung pada interpretasi diagram atau posisi titik pengamatan. Jika kita menerima rumus yang diberikan, maka tugasnya adalah menunjukkan bagaimana rumus tersebut diturunkan dari prinsip-prinsip trigonometri dan geometri, yang kemungkinan melibatkan aturan sinus pada segitiga yang dibentuk oleh titik pengamatan dan puncak bukit.

Untuk 'menunjukkan' rumus tersebut, kita perlu memulai dengan diagram yang jelas dan menerapkan aturan sinus. Jika kita mengasumsikan bahwa sudut di A adalah \alpha, dan sudut di B adalah \beta, dan AB = d, dan tinggi bukit adalah t. Misalkan C adalah kaki bukit. PC = t. Pada segitiga PAB, sudut PAB = \alpha. Sudut PBA = 180 - \beta. Sudut APB = \beta - \alpha. (Asumsi B antara A dan C).
Aturan Sinus pada PAB:
PB / sin(\alpha) = AB / sin(\beta - \alpha) => PB = d sin(\alpha) / sin(\beta - \alpha).
Pada segitiga siku-siku PBC:
t = PB sin(\beta) = d sin(\alpha) sin(\beta) / sin(\beta - \alpha).

Jika kita lihat rumus yang diminta t = (dsin alpha. cos beta /(Sin (alpha-beta))).
Ini berarti sin(\beta) harus diganti dengan cos(\beta) dan sin(\beta - \alpha) menjadi sin(\alpha - \beta). Ini bisa terjadi jika ada perubahan sudut atau definisi.

Misalkan kita mengukur sudut \alpha dari A, lalu bergerak ke B sejauh d, dan mengukur sudut \beta dari B. Tinggi bukit t. Titik kaki bukit C. AC = x, BC = x-d.
t = x tan(\alpha)
t = (x-d) tan(\beta)
x tan(\alpha) = (x-d) tan(\beta)
x tan(\alpha) = x tan(\beta) - d tan(\beta)
d tan(\beta) = x tan(\beta) - x tan(\alpha)
d tan(\beta) = x (tan(\beta) - tan(\alpha))
x = d tan(\beta) / (tan(\beta) - tan(\alpha))
t = [d tan(\beta) / (tan(\beta) - tan(\alpha))] tan(\alpha)
t = d tan(\alpha) tan(\beta) / (tan(\beta) - tan(\alpha))
Ini adalah rumus yang umum. Rumus yang diminta mungkin terkait dengan sudut komplementer atau konfigurasi yang berbeda.

Karena soal meminta untuk 'menunjukkan', dan bukan menghitung, maka jawabannya adalah penurunan rumus tersebut menggunakan aturan sinus atau tangen. Namun, penurunan standar tidak langsung menghasilkan rumus yang diberikan. Kemungkinan ada kesalahan ketik dalam soal atau rumus yang diminta.