Untuk vaksinasi kekebalan terhadap penyakit, ayam pada usia

Biaya minimal yang harus dikeluarkan peternak adalah Rp 750.000.

Pembahasan

Untuk menentukan biaya minimal vaksinasi, kita perlu menggunakan konsep program linear.

**1. Definisikan Variabel:**
Misalkan x adalah jumlah bungkus vaksin I dan y adalah jumlah bungkus vaksin II.

**2. Buat Fungsi Tujuan:**
Biaya = 1000x + 1500y. Kita ingin meminimalkan biaya ini.

**3. Buat Kendala:**
*   **Kebutuhan Zat A:** Setiap 100 ekor ayam memerlukan minimal 12 unit zat A. Dengan 10.000 ekor ayam, kebutuhan total zat A adalah (10.000 / 100) * 12 = 100 * 12 = 1.200 unit.
Vaksin I mengandung 1 unit zat A, dan vaksin II mengandung 3 unit zat A. Maka kendalanya adalah: x + 3y ≥ 1.200
*   **Kebutuhan Zat B:** Setiap 100 ekor ayam memerlukan minimal 12 unit zat B. Dengan 10.000 ekor ayam, kebutuhan total zat B adalah (10.000 / 100) * 12 = 100 * 12 = 1.200 unit.
Vaksin I mengandung 3 unit zat B, dan vaksin II mengandung 1 unit zat B. Maka kendalanya adalah: 3x + y ≥ 1.200
*   **Kendala Non-negatif:** Jumlah vaksin tidak boleh negatif. x ≥ 0 dan y ≥ 0.

**4. Cari Titik-titik Sudut (Krusial):**
Kita perlu mencari titik potong dari kendala-kendala berikut:
    a) x + 3y = 1.200
    b) 3x + y = 1.200
    c) x = 0
    d) y = 0

   *   **Titik potong antara (a) dan (b):**
       Dari (b), y = 1.200 - 3x. Substitusikan ke (a):
       x + 3(1.200 - 3x) = 1.200
       x + 3.600 - 9x = 1.200
       -8x = 1.200 - 3.600
       -8x = -2.400
       x = 300
       Substitusikan x = 300 ke y = 1.200 - 3x:
       y = 1.200 - 3(300)
       y = 1.200 - 900
       y = 300
       Jadi, titik potongnya adalah (300, 300).

   *   **Titik potong dengan sumbu x (y=0) pada kendala:**
       Jika y=0 di x + 3y = 1.200, maka x = 1.200. Titik (1.200, 0).
       Jika y=0 di 3x + y = 1.200, maka 3x = 1.200 -> x = 400. Titik (400, 0).
       Titik sudut yang relevan adalah (400, 0).

   *   **Titik potong dengan sumbu y (x=0) pada kendala:**
       Jika x=0 di x + 3y = 1.200, maka 3y = 1.200 -> y = 400. Titik (0, 400).
       Jika x=0 di 3x + y = 1.200, maka y = 1.200. Titik (0, 1.200).
       Titik sudut yang relevan adalah (0, 400).

Titik-titik sudut yang mungkin adalah (400, 0), (0, 400), dan (300, 300).

**5. Evaluasi Fungsi Tujuan pada Titik-titik Sudut:**
*   Untuk (400, 0): Biaya = 1000(400) + 1500(0) = 400.000
*   Untuk (0, 400): Biaya = 1000(0) + 1500(400) = 600.000
*   Untuk (300, 300): Biaya = 1000(300) + 1500(300) = 300.000 + 450.000 = 750.000

Oh, tunggu sebentar. Ada kesalahan dalam menentukan titik sudut yang relevan. Kita harus mempertimbangkan bahwa kedua kendala harus dipenuhi.

Mari kita tinjau ulang kendala:
1. x + 3y ≥ 1200
2. 3x + y ≥ 1200
3. x ≥ 0, y ≥ 0

Daerah penyelesaiannya dibatasi oleh garis x + 3y = 1200 dan 3x + y = 1200. Titik potongnya adalah (300, 300).

Titik sudut yang perlu diuji adalah:
*   Titik potong sumbu y dengan garis kendala yang relevan: Jika x=0, maka 3y ≥ 1200 -> y ≥ 400. Jadi titiknya (0, 400).
*   Titik potong sumbu x dengan garis kendala yang relevan: Jika y=0, maka 3x ≥ 1200 -> x ≥ 400. Jadi titiknya (400, 0).
*   Titik potong kedua garis kendala: (300, 300).

Sekarang evaluasi fungsi tujuan:
*   F(400, 0) = 1000(400) + 1500(0) = 400.000
*   F(0, 400) = 1000(0) + 1500(400) = 600.000
*   F(300, 300) = 1000(300) + 1500(300) = 300.000 + 450.000 = 750.000

Nilai minimal biaya adalah Rp 400.000, yang terjadi jika peternak membeli 400 bungkus vaksin I dan 0 bungkus vaksin II. Namun, mari kita periksa kendalanya.
Jika x=400, y=0:
Zat A: 400 + 3(0) = 400. Ini TIDAK memenuhi 1200.

Jika x=0, y=400:
Zat A: 0 + 3(400) = 1200. Memenuhi.
Zat B: 3(0) + 400 = 400. Ini TIDAK memenuhi 1200.

Jika x=300, y=300:
Zat A: 300 + 3(300) = 300 + 900 = 1200. Memenuhi.
Zat B: 3(300) + 300 = 900 + 300 = 1200. Memenuhi.
Biaya = 1000(300) + 1500(300) = 300.000 + 450.000 = 750.000.

Sepertinya ada kesalahan dalam asumsi titik sudut. Mari kita selidiki ulang daerah penyelesaian.
Daerah penyelesaian berada di kuadran pertama, di atas atau pada garis x + 3y = 1200, dan di atas atau pada garis 3x + y = 1200.

Titik-titik kritis adalah:
1. Perpotongan x + 3y = 1200 dan 3x + y = 1200 -> (300, 300). Biaya = 750.000.
2. Perpotongan 3x + y = 1200 dengan sumbu x (y=0). Maka 3x = 1200 -> x = 400. Titik (400, 0). Periksa kendala 1: 400 + 3(0) = 400. Ini < 1200. Jadi titik ini TIDAK dalam daerah penyelesaian.
3. Perpotongan x + 3y = 1200 dengan sumbu y (x=0). Maka 3y = 1200 -> y = 400. Titik (0, 400). Periksa kendala 2: 3(0) + 400 = 400. Ini < 1200. Jadi titik ini TIDAK dalam daerah penyelesaian.

Ini berarti titik potong dengan sumbu x dan y yang kita temukan sebelumnya tidak valid karena tidak memenuhi kedua kendala secara bersamaan.

Mari kita cari titik potong dengan sumbu x untuk 3x + y = 1200, yaitu (400,0), dan titik potong dengan sumbu y untuk x + 3y = 1200, yaitu (0,400).

Titik sudut yang valid adalah titik-titik di mana garis kendala berpotongan atau berpotongan dengan sumbu x dan y, ASALKAN mereka memenuhi SEMUA kendala.

Kita punya titik potong (300, 300). Mari kita cek titik lain:
Jika kita hanya menggunakan vaksin I (x bungkus, y=0):
Kebutuhan zat A: x >= 1200. Kebutuhan zat B: 3x >= 1200 -> x >= 400. Jadi minimal x = 1200. Biaya = 1000 * 1200 = 1.200.000.

Jika kita hanya menggunakan vaksin II (y bungkus, x=0):
Kebutuhan zat A: 3y >= 1200 -> y >= 400. Kebutuhan zat B: y >= 1200. Jadi minimal y = 1200. Biaya = 1500 * 1200 = 1.800.000.

Mari kita periksa kembali perpotongan garis:
x + 3y = 1200
3x + y = 1200

Kalikan persamaan pertama dengan 3:
3x + 9y = 3600
Kurangi persamaan kedua:
(3x + 9y) - (3x + y) = 3600 - 1200
8y = 2400
y = 300

Substitusi y=300 ke 3x + y = 1200:
3x + 300 = 1200
3x = 900
x = 300

Titik kritis adalah (300, 300), biaya Rp 750.000.

Perhatikan fungsi tujuan: Z = 1000x + 1500y. Untuk mencari nilai minimum, kita harus mencari titik di mana garis Z = k menyentuh daerah penyelesaian. Gradien fungsi tujuan adalah -1000/1500 = -2/3.
Gradien kendala 1 (x + 3y = 1200) adalah -1/3.
Gradien kendala 2 (3x + y = 1200) adalah -3.

Karena gradien fungsi tujuan (-2/3) berada di antara gradien kedua kendala (-1/3 dan -3), maka titik minimum terjadi pada titik potong kedua kendala, yaitu (300, 300).

Biaya minimal = 1000(300) + 1500(300) = 300.000 + 450.000 = 750.000.

Jadi, biaya minimal yang harus dikeluarkan adalah Rp 750.000.