Volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh kurva

Volume benda putar adalah 64π/15 satuan kubik.

Pembahasan

Untuk menghitung volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^2 dan y=2x jika diputar mengelilingi sumbu X, kita perlu menggunakan metode cakram atau cincin. Pertama, tentukan titik potong kedua kurva dengan menyamakan kedua persamaan: x^2 = 2x. Maka, x^2 - 2x = 0, sehingga x(x-2) = 0. Titik potongnya adalah x=0 dan x=2.

Kedua, tentukan kurva mana yang berada di atas pada interval [0, 2]. Untuk x=1, y=x^2 = 1 dan y=2x = 2. Jadi, y=2x berada di atas y=x^2.

Volume benda putar dihitung dengan integral:
V = π ∫[a, b] ((R(x))^2 - (r(x))^2) dx
Di sini, R(x) adalah kurva terluar (y=2x) dan r(x) adalah kurva terdalam (y=x^2). Batas integral adalah a=0 dan b=2.

V = π ∫[0, 2] ((2x)^2 - (x^2)^2) dx
V = π ∫[0, 2] (4x^2 - x^4) dx
V = π [ (4/3)x^3 - (1/5)x^5 ] | [0, 2]
V = π [ ((4/3)(2)^3 - (1/5)(2)^5) - ((4/3)(0)^3 - (1/5)(0)^5) ]
V = π [ (4/3)(8) - (1/5)(32) ]
V = π [ 32/3 - 32/5 ]
V = π [ (160 - 96) / 15 ]
V = π [ 64 / 15 ]
V = 64π/15