Misalkan v1 adalah kecepatan cahaya di udara dan v2 adalah

Hukum Snell, (sin(\theta1))/(sin(\theta2)) = v1/v2, diturunkan dari Prinsip Fermat dengan meminimalkan waktu tempuh cahaya.

Pembahasan

Prinsip Fermat menyatakan bahwa sinar cahaya akan mengambil jalur yang meminimalkan waktu tempuh. Dalam kasus ini, sinar cahaya bergerak dari titik A di udara ke titik B di air.

Misalkan:
v1 = kecepatan cahaya di udara
v2 = kecepatan cahaya dalam air
\theta1 = sudut datang sinar di udara (terhadap normal)
\theta2 = sudut bias sinar di air (terhadap normal)

Dari diagram yang diberikan, kita dapat melihat segitiga siku-siku yang dibentuk oleh jalur sinar dan garis normal.
Misalkan jarak horizontal dari titik A ke titik C adalah x, dan jarak dari titik C ke titik B adalah d - x (jika total jarak horizontal adalah d).
Misalkan tinggi udara adalah h1 dan tinggi air adalah h2.

Dari geometri:
sin(\theta1) = x / \sqrt{h1^2 + x^2} (sisi depan/hipotenusa)
sin(\theta2) = (d-x) / \sqrt{h2^2 + (d-x)^2} (sisi depan/hipotenusa)

Waktu tempuh di udara (t1) = jarak1 / kecepatan1 = \sqrt{h1^2 + x^2} / v1
Waktu tempuh di air (t2) = jarak2 / kecepatan2 = \sqrt{h2^2 + (d-x)^2} / v2

Waktu total (T) = t1 + t2 = \frac{\sqrt{h1^2 + x^2}}{v1} + \frac{\sqrt{h2^2 + (d-x)^2}}{v2}

Menurut Prinsip Fermat, waktu total T harus minimum. Untuk mencari minimum, kita turunkan T terhadap x dan samakan dengan nol (dT/dx = 0).

dT/dx = \frac{1}{v1} * \frac{1}{2\sqrt{h1^2 + x^2}} * 2x + \frac{1}{v2} * \frac{1}{2\sqrt{h2^2 + (d-x)^2}} * 2(d-x) * (-1)
dT/dx = \frac{x}{v1\sqrt{h1^2 + x^2}} - \frac{d-x}{v2\sqrt{h2^2 + (d-x)^2}}

Karena dT/dx = 0, maka:
\frac{x}{v1\sqrt{h1^2 + x^2}} = \frac{d-x}{v2\sqrt{h2^2 + (d-x)^2}}

Perhatikan bahwa x / \sqrt{h1^2 + x^2} = sin(\theta1) dan (d-x) / \sqrt{h2^2 + (d-x)^2} = sin(\theta2).
Substitusikan kembali ke persamaan:
\frac{sin(\theta1)}{v1} = \frac{sin(\theta2)}{v2}

Dengan mengatur ulang persamaan ini, kita mendapatkan:
\frac{sin(\theta1)}{sin(\theta2)} = \frac{v1}{v2}

Persamaan ini dikenal sebagai Hukum Snell, yang mendeskripsikan pembiasan cahaya ketika melewati batas antara dua medium yang berbeda.