1.2+3.4+5.6+...+99.100=...

169.150

Pembahasan

Deret yang diberikan adalah 1.2 + 3.4 + 5.6 + ... + 99.100. Ini adalah penjumlahan dari hasil perkalian dua bilangan berurutan, di mana bilangan pertama adalah ganjil dan bilangan kedua adalah bilangan setelahnya.

Kita dapat menuliskan suku ke-n dari deret ini sebagai (2n-1)(2n).

Jadi, deretnya adalah $\sum_{n=1}^{50} (2n-1)(2n)$.

Mari kita ekspansi suku umum:
$(2n-1)(2n) = 4n^2 - 2n$

Sekarang kita hitung jumlahnya:
$\sum_{n=1}^{50} (4n^2 - 2n) = \sum_{n=1}^{50} 4n^2 - \sum_{n=1}^{50} 2n$
$= 4 \sum_{n=1}^{50} n^2 - 2 \sum_{n=1}^{50} n$

Kita gunakan rumus jumlah kuadrat dan jumlah bilangan asli:
$\\sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N+1)}{2}$
$\\sum_{n=1}^{N} n^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$

Dengan N = 50:
$\\sum_{n=1}^{50} n = \frac{50(50+1)}{2} = \frac{50 \times 51}{2} = 25 \times 51 = 1275$

$\\sum_{n=1}^{50} n^2 = \frac{50(50+1)(2 \times 50+1)}{6} = \frac{50 \times 51 \times 101}{6} = \frac{2550 \times 101}{6} = 425 \times 101 = 42925$

Sekarang substitusikan kembali ke dalam persamaan jumlah deret:
$4 \times 42925 - 2 \times 1275$
$= 171700 - 2550$
$= 169150$

Jadi, hasil dari 1.2+3.4+5.6+...+99.100 adalah 169.150.