(1+tan^2 x)/tan x = ....

(1+tan^2 x)/tan x = sec x cosec x atau 2/sin(2x).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal (1 + tan^2 x) / tan x, kita dapat menggunakan identitas trigonometri.

Identitas trigonometri yang relevan adalah: sec^2 x = 1 + tan^2 x.

Mengganti (1 + tan^2 x) dengan sec^2 x, ekspresi menjadi:
sec^2 x / tan x

Kita tahu bahwa sec x = 1/cos x dan tan x = sin x/cos x.
Maka, sec^2 x = 1/cos^2 x.

Substitusikan kembali ke dalam ekspresi:
(1/cos^2 x) / (sin x/cos x)

Untuk membagi pecahan, kita kalikan dengan kebalikan dari pembagi:
(1/cos^2 x) * (cos x/sin x)

Sederhanakan dengan membatalkan salah satu cos x di penyebut:
1 / (cos x * sin x)

Kita juga bisa menulis ulang ini menggunakan identitas lain. Ingat bahwa sin(2x) = 2 sin x cos x, sehingga sin x cos x = sin(2x)/2.

Mengganti sin x cos x:
1 / (sin(2x)/2)

Ini sama dengan:
2 / sin(2x)

Atau, kita bisa menyatakan dalam bentuk cosec dan cot: 
1 / (cos x * sin x) = (1/sin x) * (1/cos x) = cosec x * sec x

Cara lain adalah dengan mengubah tan x di penyebut menjadi sin x / cos x:
sec^2 x / (sin x / cos x)
= (1/cos^2 x) * (cos x / sin x)
= 1 / (cos x sin x)

Ini juga dapat ditulis sebagai sec x cosec x.

Jadi, (1 + tan^2 x) / tan x = sec^2 x / tan x = 1 / (sin x cos x) = sec x cosec x = 2/sin(2x).