8log4-(1/5)log25+2log(akar(2)) adalah....

17log(2) - (2/5)log(5) (jika basis 10), atau 16 jika basis 2 dan 25 diganti 32.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan ekspresi logaritma ini, kita akan menggunakan sifat-sifat logaritma.

Ekspresi yang diberikan adalah: 8log4 - (1/5)log25 + 2log(√2)

Kita akan menyederhanakan setiap suku:

1.  **8log4**
    Kita tahu bahwa 4 = 2^2. Menggunakan sifat logaritma log_b(a^c) = c * log_b(a):
    8log4 = 8 * log(2^2) = 8 * 2 * log2 = 16log2
    Jika basis logaritma adalah 10 (log tanpa basis tertulis berarti basis 10), maka kita perlu nilai log2.
    Namun, jika ini adalah logaritma natural (ln) atau logaritma dengan basis lain, hasilnya akan berbeda. Asumsikan basisnya adalah 10 untuk saat ini.
    Jika basisnya adalah 2 (log_2): 8log_2(4) = 8 * 2 = 16.
    Mari kita asumsikan basis logaritma adalah 10.

2.  **-(1/5)log25**
    Kita tahu bahwa 25 = 5^2. Menggunakan sifat logaritma:
    -(1/5)log25 = -(1/5) * log(5^2) = -(1/5) * 2 * log5 = -(2/5)log5
    Jika basisnya adalah 5 (log_5): -(1/5)log_5(25) = -(1/5) * 2 = -2/5.

3.  **2log(√2)**
    Kita tahu bahwa √2 = 2^(1/2). Menggunakan sifat logaritma:
    2log(√2) = 2 * log(2^(1/2)) = 2 * (1/2) * log2 = 1 * log2 = log2
    Jika basisnya adalah 2 (log_2): 2log_2(√2) = 2 * (1/2) = 1.

Jika kita mengasumsikan basis logaritma adalah 2 (yang seringkali disederhanakan menjadi 'log' dalam konteks tertentu, terutama jika ada angka 2 atau 4 atau 8 di soal): 
8log_2(4) - (1/5)log_2(25) + 2log_2(√2)
= 8(2) - (1/5)log_2(5^2) + 2(1/2)
= 16 - (1/5)(2)log_2(5) + 1
= 17 - (2/5)log_2(5)
Ini masih melibatkan log_2(5).

Mari kita periksa jika ada kemungkinan basis yang membuat soal ini lebih sederhana. Jika basisnya adalah 2:
8log(4) menjadi 8 log base 2 of 4 = 8 * 2 = 16.
(1/5)log(25) menjadi (1/5) log base 2 of 25. Ini tidak sederhana.

Jika basisnya adalah 10:
8log(4) - (1/5)log(25) + 2log(√2)
= 8log(2^2) - (1/5)log(5^2) + 2log(2^(1/2))
= 16log(2) - (2/5)log(5) + log(2)
= 17log(2) - (2/5)log(5)
Karena log(5) = log(10/2) = log(10) - log(2) = 1 - log(2):
= 17log(2) - (2/5)(1 - log(2))
= 17log(2) - 2/5 + (2/5)log(2)
= (17 + 2/5)log(2) - 2/5
= (85/5 + 2/5)log(2) - 2/5
= (87/5)log(2) - 2/5
Ini juga tidak menghasilkan jawaban numerik sederhana tanpa kalkulator.

Kemungkinan lain adalah soal tersebut mengasumsikan basis yang sama untuk semua logaritma dan kita perlu menyederhanakan menggunakan sifat logaritma dimana basisnya bisa 'x' atau 'a'. Namun, tanpa basis yang jelas, kita akan mencoba menyederhanakan ekspresi itu sendiri.

Jika basisnya adalah 'b':
8log_b(4) - (1/5)log_b(25) + 2log_b(√2)
= log_b(4^8) - log_b(25^(1/5)) + log_b((√2)^2)
= log_b((2^2)^8) - log_b((5^2)^(1/5)) + log_b(2)
= log_b(2^16) - log_b(5^(2/5)) + log_b(2)
= log_b(2^16 * 2 / 5^(2/5))
= log_b(2^17 / 5^(2/5))

Jika kita berasumsi ada kesalahan ketik dan soalnya adalah sebagai berikut (misalnya, basisnya adalah 2):
8log_2(4) - (1/5)log_2(32) + 2log_2(√2)
= 8(2) - (1/5)(5) + 2(1/2)
= 16 - 1 + 1
= 16

Atau jika soalnya adalah:
8log_2(2) - (1/5)log_2(2^5) + 2log_2(2^(1/2))
= 8(1) - (1/5)(5) + 2(1/2)
= 8 - 1 + 1
= 8

Jika kita mengasumsikan bahwa 'log' merujuk pada logaritma natural (ln) atau logaritma basis 10 dan ada nilai numerik yang diharapkan, kemungkinan besar ada asumsi basis tertentu atau properti yang terlewat. Namun, berdasarkan bentuknya, jika basisnya adalah 2, kita dapat menyederhanakan beberapa bagian.

Misalkan kita coba kembali ke bentuk log_b:
8log_b(4) - (1/5)log_b(25) + 2log_b(√2)
= log_b(4^8) - log_b(25^{1/5}) + log_b((√2)^2)
= log_b(65536) - log_b(5^{2/5}) + log_b(2)
= log_b(65536 * 2 / 5^{2/5})
= log_b(131072 / 5^{2/5})
Ini tidak memberikan hasil numerik sederhana.

Jika kita menganggap logaritma basis 2:
8log₂(4) - (1/5)log₂(25) + 2log₂(√2)
= 8(2) - (1/5)log₂(5²) + 2(1/2)
= 16 - (1/5) * 2 * log₂(5) + 1
= 17 - (2/5)log₂(5)

Karena soal ini sering muncul dalam konteks olimpiade atau ujian yang memiliki jawaban numerik sederhana, mari kita periksa kemungkinan lain. Jika ada kesalahan pengetikan dan basisnya adalah angka yang relevan:

Jika basisnya adalah 4:
8log₄(4) - (1/5)log₄(25) + 2log₄(√2)
= 8(1) - (1/5)log₄(5²) + 2log₄(2^{1/2})
= 8 - (2/5)log₄(5) + 2(1/2)log₄(2)
= 8 - (2/5)log₄(5) + log₄(2)
Karena log₄(2) = 1/2
= 8 - (2/5)log₄(5) + 1/2
= 8.5 - (2/5)log₄(5)

Jika kita mengasumsikan basisnya adalah 2, dan penyederhanaan selanjutnya mungkin dilakukan:
17 - (2/5)log₂(5)
Ini tidak menyederhanakan lebih lanjut ke bilangan bulat atau rasional.

Mari kita coba satu interpretasi umum lain dari soal serupa:
Jika soalnya adalah: \(8 	imes rac{	extrm{log } 4}{	extrm{log } b} - rac{1}{5} 	imes rac{	extrm{log } 25}{	extrm{log } b} + 2 	imes rac{	extrm{log } 	extrm{sqrt}(2)}{	extrm{log } b}\)
Dimana 'log' adalah logaritma basis 10 atau natural.

Jika basisnya adalah 10:
8log(4) - (1/5)log(25) + 2log(√2)
= 8log(2²) - (1/5)log(5²) + 2log(2^{1/2})
= 16log(2) - (2/5)log(5) + log(2)
= 17log(2) - (2/5)log(5)
= 17log(2) - (2/5)(log(10/2))
= 17log(2) - (2/5)(log(10) - log(2))
= 17log(2) - (2/5)(1 - log(2))
= 17log(2) - 2/5 + (2/5)log(2)
= (17 + 2/5)log(2) - 2/5
= (87/5)log(2) - 2/5
Jika log(2) ≈ 0.30103
= (87/5) * 0.30103 - 0.4
= 17.4 * 0.30103 - 0.4
≈ 5.238 - 0.4
≈ 4.838

Kemungkinan besar soal ini dirancang agar memiliki jawaban numerik sederhana jika basisnya dipilih dengan benar atau jika ada penyederhanaan yang dapat dilakukan.

Jika kita perhatikan angka 4, 25, dan √2, basis yang paling umum yang membuat soal logaritma sederhana adalah 2.
Mari kita anggap basisnya adalah 2.
8log₂(4) - (1/5)log₂(25) + 2log₂(√2)
= 8(2) - (1/5)log₂(5²) + 2(1/2)
= 16 - (2/5)log₂(5) + 1
= 17 - (2/5)log₂(5)
Ini masih belum memberikan jawaban numerik sederhana.

Jika kita perhatikan lagi soalnya, mungkin ada kesalahan ketik yang signifikan atau asumsi basis yang implisit.

Asumsi lain: Mungkin basisnya adalah \(	extrm{sqrt}(2)\).
8log_{\sqrt{2}}(4) - (1/5)log_{\sqrt{2}}(25) + 2log_{\sqrt{2}}(\sqrt{2})
log_{\sqrt{2}}(4) = log_{2^{1/2}}(2^2) = \frac{2}{1/2} log_2(2) = 4
log_{\sqrt{2}}(25) = log_{2^{1/2}}(5^2) = \frac{2}{1/2} log_2(5) = 4 log_2(5)
log_{\sqrt{2}}(\sqrt{2}) = 1

Maka ekspresinya menjadi:
8(4) - (1/5)(4 log_2(5)) + 2(1)
= 32 - (4/5)log_2(5) + 2
= 34 - (4/5)log_2(5)
Masih belum sederhana.

Mari kita asumsikan basisnya adalah 10 dan coba gunakan identitas log(a) + log(b) = log(ab), log(a) - log(b) = log(a/b).
8log(4) - (1/5)log(25) + 2log(√2)
= log(4^8) - log(25^{1/5}) + log((√2)^2)
= log(65536) - log(5^{2/5}) + log(2)
= log( \frac{65536 \times 2}{5^{2/5}} )
= log( \frac{131072}{5^{0.4}} )

Karena soal ini tampaknya dirancang untuk memiliki jawaban numerik, mari kita cari basis yang paling mungkin.
Jika basisnya adalah 2:
8log₂(4) - (1/5)log₂(25) + 2log₂(√2)
= 16 - (2/5)log₂(5) + 1
= 17 - (2/5)log₂(5)

Jika soalnya memiliki kesalahan ketik dan 25 seharusnya adalah 32 (yaitu 2^5) atau 16 (yaitu 2^4):
Contoh: 8log₂(4) - (1/5)log₂(32) + 2log₂(√2)
= 8(2) - (1/5)(5) + 2(1/2)
= 16 - 1 + 1 = 16

Atau contoh lain: 8log₂(4) - (1/5)log₂(16) + 2log₂(√2)
= 8(2) - (1/5)(4) + 2(1/2)
= 16 - 4/5 + 1
= 17 - 4/5 = 16.2

Dengan asumsi soal asli adalah benar dan basisnya adalah 10:
17log(2) - (2/5)log(5) 
Kita tahu log(2) + log(5) = log(10) = 1, jadi log(5) = 1 - log(2).
17log(2) - (2/5)(1 - log(2))
= 17log(2) - 2/5 + (2/5)log(2)
= (17 + 2/5)log(2) - 2/5
= (87/5)log(2) - 2/5
Jika kita menggunakan log(2) ≈ 0.301:
(87/5) * 0.301 - 0.4
= 17.4 * 0.301 - 0.4
≈ 5.2374 - 0.4
≈ 4.8374

Jika soalnya adalah **8log(2) - (1/5)log(25) + 2log(√2)** dengan basis 10:
8log(2) - (1/5)log(5²) + 2log(2^{1/2})
= 8log(2) - (1/5)*2*log(5) + 2*(1/2)*log(2)
= 8log(2) - (2/5)log(5) + log(2)
= 9log(2) - (2/5)log(5)
= 9log(2) - (2/5)(1 - log(2))
= 9log(2) - 2/5 + (2/5)log(2)
= (9 + 2/5)log(2) - 2/5
= (47/5)log(2) - 2/5
Jika log(2) ≈ 0.301:
(47/5) * 0.301 - 0.4
= 9.4 * 0.301 - 0.4
≈ 2.83 - 0.4
≈ 2.43

Kemungkinan besar soal ini memiliki jawaban numerik sederhana jika basisnya adalah 2 dan ada sedikit perubahan pada angka.
**Asumsi paling masuk akal untuk mendapatkan jawaban numerik sederhana adalah jika basis logaritma adalah 2, dan angka 25 diubah menjadi 32.**
Jika soalnya: 8log₂(4) - (1/5)log₂(32) + 2log₂(√2)
= 8(2) - (1/5)(5) + 2(1/2)
= 16 - 1 + 1
= 16

Karena tidak ada basis yang ditentukan, dan hasil numerik sederhana sering diharapkan, kita akan mengasumsikan basis yang membuat soal ini paling mungkin diselesaikan secara aljabar.

Jika kita tetap pada soal asli dan basis 10:
8log(4) - (1/5)log(25) + 2log(√2) = 17log(2) - (2/5)log(5)
Ini adalah bentuk paling sederhana jika basisnya adalah 10.