Seorang pengusaha perumahan mempunyai lahan tanah seluas

Penghasilan maksimum adalah Rp26.250.000.000,00.

Pembahasan

Soal ini merupakan soal program linear yang bertujuan untuk memaksimalkan keuntungan pengusaha perumahan.

Variabel:
Misalkan x = jumlah rumah tipe I
Misalkan y = jumlah rumah tipe II

Fungsi Tujuan (Keuntungan):
Keuntungan = 250.000.000x + 200.000.000y
Kita ingin memaksimalkan fungsi ini.

Kendala:
1. Luas Lahan:
   100x + 75y <= 10.000
   Bagi dengan 25: 4x + 3y <= 400

2. Jumlah Unit Rumah:
   x + y <= 125

3. Non-negatif:
   x >= 0
   y >= 0

Untuk mencari keuntungan maksimum, kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi kendala dan mensubstitusikannya ke dalam fungsi tujuan.

Titik-titik pojok dapat ditemukan dengan menyelesaikan sistem persamaan dari garis-garis kendala:

a. Titik potong sumbu x (y=0) dari 4x + 3y = 400 -> 4x = 400 -> x = 100. Titik: (100, 0)
   Titik potong sumbu y (x=0) dari 4x + 3y = 400 -> 3y = 400 -> y = 400/3. Titik: (0, 400/3)

b. Titik potong sumbu x (y=0) dari x + y = 125 -> x = 125. Titik: (125, 0)
   Titik potong sumbu y (x=0) dari x + y = 125 -> y = 125. Titik: (0, 125)

c. Titik potong antara 4x + 3y = 400 dan x + y = 125:
   Dari x + y = 125, maka y = 125 - x.
   Substitusikan ke persamaan pertama:
   4x + 3(125 - x) = 400
   4x + 375 - 3x = 400
   x = 400 - 375
   x = 25
   Jika x = 25, maka y = 125 - 25 = 100. Titik: (25, 100)

Titik-titik pojok yang relevan adalah:
(0, 0)
(100, 0)  (karena 4x+3y<=400, x+y<=125 -> 100+0<=125 benar)
(0, 125)  (karena 4x+3y<=400 -> 4(0)+3(125)=375<=400 benar)
(25, 100) (karena 4(25)+3(100)=100+300=400<=400 benar, dan 25+100=125<=125 benar)

Sekarang hitung keuntungan di setiap titik pojok:
- Di (0, 0): Keuntungan = 250.000.000(0) + 200.000.000(0) = 0
- Di (100, 0): Keuntungan = 250.000.000(100) + 200.000.000(0) = 25.000.000.000
- Di (0, 125): Keuntungan = 250.000.000(0) + 200.000.000(125) = 25.000.000.000
- Di (25, 100): Keuntungan = 250.000.000(25) + 200.000.000(100) = 6.250.000.000 + 20.000.000.000 = 26.250.000.000

Penghasilan maksimum yang dapat diperoleh adalah Rp26.250.000.000,00 dengan membangun 25 rumah tipe I dan 100 rumah tipe II.