Kelas 12Kelas 11mathKalkulus
a. Buktikan bahwa limit x mendekati tak hingga cos (1/x)=1
Pertanyaan
a. Buktikan bahwa limit x mendekati tak hingga $\cos (1/x)=1$. b. Hitunglah 1) limit x mendekati tak hingga x sin (1/x) 2) limit x mendekati tak hingga x tan (1/x).
Solusi
Verified
a. Terbukti. b. 1) 1, 2) 1.
Pembahasan
a. Bukti bahwa limit x mendekati tak hingga cos (1/x) = 1 Misalkan $y = 1/x$. Ketika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Sehingga, $\lim_{x \to \infty} \cos(1/x) = \lim_{y \to 0} \cos(y)$. Karena fungsi $\cos(y)$ kontinu pada $y=0$, maka $\lim_{y \to 0} \cos(y) = \cos(0) = 1$. Jadi, terbukti bahwa $\lim_{x \to \infty} \cos(1/x) = 1$. b. Menghitung limit: 1) $\lim_{x \to \infty} x \sin (1/x)$ Misalkan $y = 1/x$. Ketika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Limit menjadi $\lim_{y \to 0} (1/y) \sin(y) = \lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{y}$. Ini adalah bentuk limit standar yang nilainya adalah 1. Jadi, $\lim_{x \to \infty} x \sin (1/x) = 1$. 2) $\lim_{x \to \infty} x \tan (1/x)$ Misalkan $y = 1/x$. Ketika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Limit menjadi $\lim_{y \to 0} (1/y) \tan(y) = \lim_{y \to 0} \frac{\tan(y)}{y}$. Kita tahu bahwa $\tan(y) = \sin(y) / \cos(y)$. Maka, limit menjadi $\lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{y \cos(y)} = \lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{y} \times \lim_{y \to 0} \frac{1}{\cos(y)}$. Kita sudah tahu bahwa $\lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{y} = 1$ dan $\lim_{y \to 0} \cos(y) = \cos(0) = 1$. Maka, limit menjadi $1 \times (1/1) = 1$. Jadi, $\lim_{x \to \infty} x \tan (1/x) = 1$.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Limit Fungsi Trigonometri, Limit Di Tak Hingga
Section: Limit Trigonometri Di Tak Hingga
Apakah jawaban ini membantu?