a. Buktikan bahwa limit x mendekati tak hingga cos (1/x)=1

a. Terbukti. b. 1) 1, 2) 1.

Pembahasan

a. Bukti bahwa limit x mendekati tak hingga cos (1/x) = 1
Misalkan $y = 1/x$. Ketika $x \to \infty$, maka $y \to 0$.
Sehingga, $\lim_{x \to \infty} \cos(1/x) = \lim_{y \to 0} \cos(y)$.
Karena fungsi $\cos(y)$ kontinu pada $y=0$, maka $\lim_{y \to 0} \cos(y) = \cos(0) = 1$.
Jadi, terbukti bahwa $\lim_{x \to \infty} \cos(1/x) = 1$.

b. Menghitung limit:
1) $\lim_{x \to \infty} x \sin (1/x)$
Misalkan $y = 1/x$. Ketika $x \to \infty$, maka $y \to 0$.
Limit menjadi $\lim_{y \to 0} (1/y) \sin(y) = \lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{y}$.
Ini adalah bentuk limit standar yang nilainya adalah 1.
Jadi, $\lim_{x \to \infty} x \sin (1/x) = 1$.

2) $\lim_{x \to \infty} x \tan (1/x)$
Misalkan $y = 1/x$. Ketika $x \to \infty$, maka $y \to 0$.
Limit menjadi $\lim_{y \to 0} (1/y) \tan(y) = \lim_{y \to 0} \frac{\tan(y)}{y}$.
Kita tahu bahwa $\tan(y) = \sin(y) / \cos(y)$.
Maka, limit menjadi $\lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{y \cos(y)} = \lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{y} \times \lim_{y \to 0} \frac{1}{\cos(y)}$.
Kita sudah tahu bahwa $\lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{y} = 1$ dan $\lim_{y \to 0} \cos(y) = \cos(0) = 1$.
Maka, limit menjadi $1 \times (1/1) = 1$.
Jadi, $\lim_{x \to \infty} x \tan (1/x) = 1$.