a. Tunjukkan bahwa 8sin 20.sin 40.sin 80= akar(3). b. Tanpa

a. 8sin(20°)sin(40°)sin(80°) = √3 terbukti menggunakan identitas sin(x)sin(60°-x)sin(60°+x) = 1/4 sin(3x). b. 8sin(70°)sin(50°)sin(10°) = 1.

Pembahasan

a. Untuk menunjukkan bahwa 8sin(20°)sin(40°)sin(80°) = √3, kita dapat menggunakan identitas trigonometri:
sin(A)sin(B) = 1/2 [cos(A-B) - cos(A+B)]
dan
sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x)
atau
cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x).

Kita juga bisa menggunakan identitas:
sin(x)sin(60°-x)sin(60°+x) = 1/4 sin(3x).

Mari kita terapkan identitas ini:
Kita punya sin(20°), sin(40°), sin(80°).
Perhatikan bahwa 40° = 60° - 20° dan 80° = 60° + 20°.
Jadi, kita bisa menulis:
sin(20°)sin(40°)sin(80°) = sin(20°)sin(60°-20°)sin(60°+20°)
Menggunakan identitas sin(x)sin(60°-x)sin(60°+x) = 1/4 sin(3x):
sin(20°)sin(40°)sin(80°) = 1/4 sin(3 * 20°)
= 1/4 sin(60°)
= 1/4 * (√3 / 2)
= √3 / 8

Maka, 8sin(20°)sin(40°)sin(80°) = 8 * (√3 / 8) = √3.
Ini membuktikan bagian a.

b. Tanpa menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri, hitunglah: 8sin(70°)sin(50°)sin(10°).

Kita bisa menggunakan identitas yang sama:
sin(x)sin(60°-x)sin(60°+x) = 1/4 sin(3x).

Mari kita atur ulang argumennya agar sesuai dengan pola identitas:
Kita punya 70°, 50°, 10°.
Perhatikan:
70° = 60° + 10°
50° = 60° - 10°

Jadi, kita bisa menulis:
sin(70°)sin(50°)sin(10°) = sin(60°+10°)sin(60°-10°)sin(10°)
= sin(10°)sin(60°-10°)sin(60°+10°)
Menggunakan identitas sin(x)sin(60°-x)sin(60°+x) = 1/4 sin(3x):
sin(10°)sin(50°)sin(70°) = 1/4 sin(3 * 10°)
= 1/4 sin(30°)
= 1/4 * (1/2)
= 1/8

Maka, 8sin(70°)sin(50°)sin(10°) = 8 * (1/8) = 1.

Jadi, hasil dari 8sin(70°)sin(50°)sin(10°) adalah 1.