ABCD adalah belah ketupat dengan besar salah satu sudutnya

Panjang diagonal AC adalah 48 + 24√3 cm.

Pembahasan

ABCD adalah belah ketupat, yang berarti semua sisinya sama panjang dan diagonalnya saling tegak lurus serta membagi sudut menjadi dua sama besar. Diketahui salah satu sudutnya adalah 150 derajat. Dalam belah ketupat, sudut yang berhadapan sama besar, dan jumlah sudut yang berdekatan adalah 180 derajat. Jika salah satu sudut adalah 150 derajat, maka sudut yang berdekatan adalah 180 - 150 = 30 derajat. Sudut-sudut belah ketupat adalah 150, 30, 150, 30 derajat.

Diagonal belah ketupat membagi sudut menjadi dua sama besar. Jadi, sudut yang dibentuk oleh diagonal BD dengan sisi AB dan AD adalah 150/2 = 75 derajat, dan sudut yang dibentuk oleh diagonal AC dengan sisi AB dan BC adalah 30/2 = 15 derajat.

Diketahui panjang diagonal BD = 24 cm. Diagonal belah ketupat saling tegak lurus. Misalkan titik potong kedua diagonal adalah O. Maka, BO = OD = 24/2 = 12 cm.

Dalam segitiga siku-siku AOB, kita memiliki sudut OAB = 15 derajat dan sudut OBA = 75 derajat (karena diagonal membagi sudut belah ketupat). Kita bisa menggunakan trigonometri untuk mencari panjang AO.

Kita tahu tan(sudut) = (sisi depan) / (sisi samping).
Dalam segitiga AOB:
tan(OBA) = AO / BO
tan(75°) = AO / 12
AO = 12 * tan(75°)

Nilai tan(75°) dapat dihitung sebagai tan(45° + 30°) = (tan 45° + tan 30°) / (1 - tan 45° tan 30°) = (1 + 1/√3) / (1 - 1/√3) = (√3 + 1) / (√3 - 1) = (√3 + 1)² / ((√3 - 1)(√3 + 1)) = (3 + 2√3 + 1) / (3 - 1) = (4 + 2√3) / 2 = 2 + √3.

Maka, AO = 12 * (2 + √3) = 24 + 12√3 cm.

Panjang diagonal AC adalah 2 * AO.
AC = 2 * (24 + 12√3) = 48 + 24√3 cm.