Tentukan persamaan lingkaran yang memenuhi syarat-syarat di

Persamaan lingkaran dapat ditentukan dari bentuk umum $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ dengan pusat $(-g,-f)$ dan jari-jari $\sqrt{g^2+f^2-c}$.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan lingkaran dari bentuk umum $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$, kita perlu mengidentifikasi nilai $g$, $f$, dan $c$. Pusat lingkaran berada di $(-g, -f)$ dan jari-jarinya adalah $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$.

a. $x^2+y^2-2x-4y+1=0$
Dari persamaan ini, kita dapatkan $2g = -2$ sehingga $g = -1$, $2f = -4$ sehingga $f = -2$, dan $c = 1$.
Pusat lingkaran adalah $(-(-1), -(-2)) = (1, 2)$.
Jari-jari lingkaran adalah $r = \sqrt{(-1)^2+(-2)^2-1} = \sqrt{1+4-1} = \sqrt{4} = 2$.
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 2^2$ atau $x^2+y^2-2x-4y+1=0$.

b. $x^2+y^2+6x+10y+33=0$
Dari persamaan ini, kita dapatkan $2g = 6$ sehingga $g = 3$, $2f = 10$ sehingga $f = 5$, dan $c = 33$.
Pusat lingkaran adalah $(-3, -5)$.
Jari-jari lingkaran adalah $r = \sqrt{3^2+5^2-33} = \sqrt{9+25-33} = \sqrt{34-33} = \sqrt{1} = 1$.
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $(x+3)^2 + (y+5)^2 = 1^2$ atau $x^2+y^2+6x+10y+33=0$. Namun, perlu diperhatikan bahwa jari-jari lingkaran adalah 1, sehingga lingkaran ini valid.

c. $x^2+y^2+3x-2y-1=0$
Dari persamaan ini, kita dapatkan $2g = 3$ sehingga $g = 3/2$, $2f = -2$ sehingga $f = -1$, dan $c = -1$.
Pusat lingkaran adalah $(-3/2, 1)$.
Jari-jari lingkaran adalah $r = \sqrt{(3/2)^2+(-1)^2-(-1)} = \sqrt{9/4+1+1} = \sqrt{9/4+2} = \sqrt{9/4+8/4} = \sqrt{17/4} = \frac{\sqrt{17}}{2}$.
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $(x+3/2)^2 + (y-1)^2 = (\frac{\sqrt{17}}{2})^2$ atau $x^2+y^2+3x-2y-1=0$.