ABCD adalah layang-layang dan ABED persegi. Panjang BD=10

Luas ABCD adalah 85 cm^2.

Pembahasan

Diketahui:
ABCD adalah layang-layang.
ABED adalah persegi.
Panjang BD = 10 cm.
Panjang BC = 13 cm.
Dalam layang-layang, diagonal-diagonalnya saling tegak lurus. Salah satu diagonalnya membagi diagonal lainnya menjadi dua sama panjang. Asumsikan diagonal AC membagi BD menjadi dua sama panjang di titik O. Maka BO = OD = BD/2 = 10/2 = 5 cm.
Karena ABED adalah persegi, maka semua sisinya sama panjang dan semua sudutnya siku-siku. Jadi, AB = BE = ED = DA.
Dalam layang-layang ABCD, sisi-sisi yang berdekatan sama panjang, yaitu AB = AD dan BC = CD. Namun, informasi ini kurang tepat jika kita mengasumsikan sifat umum layang-layang tanpa mengetahui diagonal mana yang membagi dua sama panjang. Mari kita gunakan informasi yang diberikan:
BD adalah diagonal layang-layang ABCD.
Jika ABED adalah persegi, maka AB = BE = ED = DA. Karena BD adalah diagonal persegi, maka BD = s√2, di mana s adalah sisi persegi. Ini bertentangan dengan informasi BD = 10 cm jika kita menganggap ABED adalah persegi dengan BD sebagai diagonalnya.
Mari kita interpretasikan soal dengan benar: ABCD adalah layang-layang dengan AB=AD dan BC=CD. ABED adalah persegi, artinya AB = BE = ED = DA. Ini menyiratkan bahwa AD = AB. Karena ABCD adalah layang-layang, kita bisa berasumsi bahwa AC adalah sumbu simetri, yang membagi BD menjadi dua sama panjang. Jadi BO = OD = 5 cm. Segitiga ABO adalah siku-siku di O, dengan AB sebagai sisi miring. Juga segitiga BCO adalah siku-siku di O, dengan BC sebagai sisi miring.
Karena ABED adalah persegi, maka sisi-sisinya sama, yaitu AB = AD = BE = ED. Dari sifat layang-layang ABCD, kita memiliki AB = AD dan BC = CD. Jadi, AB = AD = BC = CD. Ini berarti layang-layang ini adalah belah ketupat, dan karena ada persegi ABED, maka semua sisinya sama panjang.
Mari kita gunakan Pythagoras pada segitiga BCO:
BC^2 = BO^2 + CO^2
13^2 = 5^2 + CO^2
169 = 25 + CO^2
CO^2 = 169 - 25
CO^2 = 144
CO = 12 cm.
Panjang diagonal AC = 2 * CO = 2 * 12 cm = 24 cm.
Luas layang-layang ABCD = 1/2 × diagonal 1 × diagonal 2
Luas ABCD = 1/2 × BD × AC
Luas ABCD = 1/2 × 10 cm × 24 cm
Luas ABCD = 1/2 × 240 cm^2
Luas ABCD = 120 cm^2.

Ada kemungkinan interpretasi lain: Jika ABED adalah persegi, maka AB=BE=ED=DA. Dan ABCD adalah layang-layang. BD=10, BC=13. Jika BD adalah diagonal dan AC adalah diagonal lain, dan AC tegak lurus BD di O, serta BO=OD=5.
Dalam layang-layang, satu diagonal (biasanya yang memanjang) membagi diagonal lainnya menjadi dua sama panjang. Seringkali diagonal yang lebih panjang adalah sumbu simetri. Jika AC adalah sumbu simetri, maka AB=AD dan CB=CD. Karena ABED adalah persegi, maka AB=AD. Jadi AB=AD. Ini konsisten dengan layang-layang. Dengan BO=5, dan BC=13, maka dalam segitiga siku-siku BCO, CO = sqrt(BC^2 - BO^2) = sqrt(13^2 - 5^2) = sqrt(169-25) = sqrt(144) = 12. Maka AC = 2*CO = 24. Luas = 1/2 * BD * AC = 1/2 * 10 * 24 = 120 cm^2.

Namun, jika BD adalah diagonal yang memotong diagonal lain (misalnya AC) di titik O, dan ABED adalah persegi, maka AD=AB. Dan BC=13. Jika BD=10. Dalam layang-layang ABCD, kita punya AB=AD dan BC=CD. Jika ABED adalah persegi, maka AB=AD=BE=ED. Jadi AD=AB=BC=CD=13. Ini berarti layang-layang adalah belah ketupat. Jika BD=10, maka diagonal lainnya (AC) membagi BD menjadi 2 sama panjang (5cm) dan tegak lurus. AO = CO = sqrt(AD^2 - OD^2) = sqrt(13^2 - 5^2) = 12. Maka AC=24. Luas = 1/2 * 10 * 24 = 120 cm^2.

Mari kita pertimbangkan jika BD=10 adalah salah satu sisi persegi ABED. Misalkan AB=10. Maka AD=10. Karena ABCD adalah layang-layang, AB=AD dan BC=CD. Jadi AD=AB=10. Dan BC=CD=13. Diagonal AC membagi BD menjadi 2 sama panjang (BO=OD=5) dan tegak lurus. Segitiga ABO siku-siku, AO = sqrt(AB^2 - BO^2) = sqrt(10^2 - 5^2) = sqrt(100-25) = sqrt(75) = 5*sqrt(3). Segitiga BCO siku-siku, CO = sqrt(BC^2 - BO^2) = sqrt(13^2 - 5^2) = sqrt(169-25) = sqrt(144) = 12. Diagonal AC = AO + CO = 5*sqrt(3) + 12. Luas = 1/2 * BD * AC = 1/2 * 10 * (5*sqrt(3) + 12) = 5 * (5*sqrt(3) + 12) = 25*sqrt(3) + 60. Ini tidak cocok dengan pilihan.

Kemungkinan besar, ABED adalah persegi dengan sisi AB, dan BD=10 adalah diagonal dari layang-layang ABCD. AD = AB (sisi persegi). BC = 13 (sisi layang-layang). Dalam layang-layang, diagonal AC tegak lurus diagonal BD di titik O, dan BO=OD=5. Segitiga ADO siku-siku di O. AD^2 = AO^2 + OD^2. Segitiga BCO siku-siku di O. BC^2 = BO^2 + CO^2. Dari BC=13 dan BO=5, maka CO = sqrt(13^2 - 5^2) = 12. Jadi AC = AO + CO. Karena ABED adalah persegi, AB=AD. Jadi AD = AB. Dalam layang-layang ABCD, AB=AD dan BC=CD. Kita punya BC=13. Jika AD = AB, dan BO=OD=5. Maka CO=12. Kita perlu mencari AO. AD^2 = AO^2 + 5^2. AB^2 = AO^2 + 25. Jika ABED adalah persegi, maka AB=BE=ED=DA. Maka AD=AB. Jadi AD^2 = AO^2 + 25. Ini konsisten. Maka panjang sisi layang-layang adalah AD=AB dan BC=CD=13. Jika AD=AB, maka ABCD adalah belah ketupat. Jika belah ketupat, kedua diagonal membagi dua sama panjang. Jadi BO=OD=5 dan AO=OC. Tapi kita punya BC=13. Maka CO=12. Jika AO=OC, maka AO=12. Maka AD=sqrt(AO^2+OD^2) = sqrt(12^2+5^2) = 13. Jadi semua sisi adalah 13. Ini adalah belah ketupat. Luas = 1/2 * 10 * (12+12) = 120.

Mari kita lihat pilihan jawaban: A. 85, B. 82.5, C. 65, D. 62.5.
Jika ABCD adalah layang-layang dengan BD=10 dan BC=13. ABED adalah persegi. Ini berarti AD = AB. Dalam layang-layang, AB=AD dan BC=CD. Maka AB=AD. BC=CD=13. Diagonal AC tegak lurus diagonal BD di O. BO=OD=5. Dalam segitiga siku-siku BCO, CO = sqrt(BC^2 - BO^2) = sqrt(13^2 - 5^2) = 12. Dalam segitiga siku-siku ABO, AO = sqrt(AB^2 - BO^2). Kita tidak tahu AB. Namun, jika ABED adalah persegi, maka AB=BE=ED=DA. Jadi AD=AB. Maka AD=AB. AD^2 = AO^2 + OD^2 = AO^2 + 5^2. AB^2 = AO^2 + 25. Jadi AD=AB. Ini konsisten. Kita perlu mencari luas ABCD. Luas = 1/2 * BD * AC = 1/2 * 10 * (AO + CO) = 5 * (AO + 12). Kita perlu AO. AD=AB. AD^2 = AO^2 + 25. Jika kita mengasumsikan sisi layang-layang adalah AB=AD dan BC=CD, dan BD=10, BC=13. Maka CO=12. Jika ABED adalah persegi, maka AB=AD. Jadi AB=AD. Ini konsisten. Kita perlu mencari AO. Kita tidak memiliki informasi untuk mencari AO secara langsung dari ABED persegi kecuali jika AB adalah sisi dari persegi tersebut dan BD adalah diagonalnya.

Jika kita menganggap ABED adalah persegi, maka AB=AD. Dan ABCD adalah layang-layang, maka AB=AD dan BC=CD. Maka semua sisi adalah sama, ABCD adalah belah ketupat. BD=10 adalah salah satu diagonal. BC=13 adalah sisi. Maka diagonal lainnya (AC) tegak lurus BD dan membagi dua sama panjang. AO=OC dan BO=OD=5. Dalam segitiga siku-siku BCO, CO = sqrt(BC^2 - BO^2) = sqrt(13^2 - 5^2) = 12. Maka AO=OC=12. AC=24. Luas = 1/2 * 10 * 24 = 120. Pilihan jawaban tidak ada yang 120.

Mari kita coba interpretasi lain. ABCD adalah layang-layang. ABED adalah persegi. BD = 10 cm. BC = 13 cm. Luas ABCD adalah ...
Dalam layang-layang, dua pasang sisi yang berdekatan sama panjang. Misalkan AB=AD dan CB=CD. Kita diberikan BC=13, maka CD=13. BD=10 adalah salah satu diagonal. Misalkan diagonal AC tegak lurus BD di O. Maka BO=OD=5. Dalam segitiga BCO, CO = sqrt(BC^2 - BO^2) = sqrt(13^2 - 5^2) = 12. Dalam segitiga ADO, AD = AB. AD^2 = AO^2 + OD^2 = AO^2 + 5^2. ABED adalah persegi. Maka AB=BE=ED=DA. Jadi AD=AB. Ini konsisten. Jadi AB=AD. Maka AD^2 = AO^2 + 25. Jika ABCD adalah layang-layang dengan AB=AD dan BC=CD=13, dan BD=10, maka CO=12. Kita perlu mencari AO. Luas ABCD = 1/2 * BD * AC = 1/2 * 10 * (AO+CO) = 5 * (AO+12).
Jika ABED adalah persegi, maka AB=AD. Ini berarti layang-layang adalah belah ketupat. Jika belah ketupat, maka kedua diagonal saling membagi dua sama panjang. Jadi BO=OD=5 dan AO=OC. Jika CO=12, maka AO=12. Luas = 1/2 * 10 * (12+12) = 120. Masih tidak ada di pilihan.

Mari kita asumsikan ABED adalah persegi dan BD=10 cm adalah salah satu sisi persegi tersebut. Maka AB=BE=ED=DA=10 cm. Karena ABCD adalah layang-layang, AB=AD dan BC=CD. Maka AD=AB=10 cm. Dan BC=CD=13 cm. Diagonal AC tegak lurus diagonal BD di O. BO=OD=5 cm. Dalam segitiga siku-siku ADO, AO = sqrt(AD^2 - OD^2) = sqrt(10^2 - 5^2) = sqrt(100-25) = sqrt(75) = 5*sqrt(3). Dalam segitiga siku-siku BCO, CO = sqrt(BC^2 - BO^2) = sqrt(13^2 - 5^2) = sqrt(169-25) = 12. Panjang diagonal AC = AO + CO = 5*sqrt(3) + 12. Luas ABCD = 1/2 * BD * AC = 1/2 * 10 * (5*sqrt(3) + 12) = 5 * (5*sqrt(3) + 12) = 25*sqrt(3) + 60. Nilai sqrt(3) sekitar 1.732. Luas = 25 * 1.732 + 60 = 43.3 + 60 = 103.3. Masih tidak ada di pilihan.

Mari kita pertimbangkan ulang soal. ABCD adalah layang-layang dan ABED persegi. Panjang BD=10 cm dan BC=13 cm. Luas ABCD adalah ...
Karena ABED adalah persegi, maka AB = AD. Dalam layang-layang ABCD, AB = AD dan BC = CD. Jadi, AB = AD dan BC = CD = 13 cm. BD = 10 cm adalah salah satu diagonal. Misalkan diagonal AC tegak lurus BD di O, dan membagi BD sama panjang. Maka BO = OD = 5 cm. Dalam segitiga siku-siku BCO, CO = sqrt(BC^2 - BO^2) = sqrt(13^2 - 5^2) = 12 cm. Dalam segitiga siku-siku ADO, AD = AB. AD^2 = AO^2 + OD^2. AB^2 = AO^2 + 5^2. Karena AB=AD, maka AB^2 = AD^2. Ini konsisten. Kita perlu menemukan AO untuk menghitung luas. Luas ABCD = 1/2 * BD * AC = 1/2 * 10 * (AO + CO) = 5 * (AO + 12).

Perhatikan bahwa jika ABED adalah persegi, maka sudut DAB adalah 90 derajat. Dalam layang-layang, jika salah satu sudut di antara sisi-sisi yang berbeda panjangnya adalah 90 derajat, itu adalah kasus khusus. Namun, dalam layang-layang ABCD, kita punya AB=AD dan BC=CD. Jika ABED adalah persegi, maka AB=AD. Jadi, ABCD adalah belah ketupat. Dalam belah ketupat, kedua diagonal saling tegak lurus dan membagi dua sama panjang. Jadi, jika BD=10, maka BO=OD=5. Jika BC=13, maka dalam segitiga siku-siku BCO, CO = sqrt(13^2 - 5^2) = 12. Karena belah ketupat, AO=OC=12. Maka AC = 24. Luas = 1/2 * 10 * 24 = 120. Masih tidak ada di pilihan.

Ada kemungkinan bahwa BD adalah diagonal yang menghubungkan dua sudut di mana sisi-sisi yang sama bertemu, dan AC adalah diagonal yang menghubungkan sudut di mana sisi-sisi yang berbeda panjang bertemu. Namun, dalam layang-layang standar, kedua diagonal tegak lurus. Mari kita gunakan informasi bahwa ABED adalah persegi. Ini berarti AB = AD = DE = EB. Dan sudut A, B, E, D adalah sudut dalam persegi. Jadi ∠DAB = 90°. Karena ABCD adalah layang-layang, AB=AD dan BC=CD. Maka AB=AD=10 cm (jika BD adalah sisi persegi, yang tidak mungkin karena BD adalah diagonal layang-layang). 

Jika kita kembali ke interpretasi di mana ABCD adalah layang-layang dengan AB=AD dan BC=CD=13, dan BD=10 adalah diagonal yang memotong diagonal AC di O, dengan BO=OD=5. Maka CO=12. Untuk mencari luas, kita perlu AO. ABED adalah persegi. Ini berarti AB=AD. Maka AD^2 = AO^2 + OD^2 = AO^2 + 25. AB^2 = AO^2 + 25. AB=AD. Ini konsisten. Kita perlu AO. 

Jika kita asumsikan bahwa titik E berimpit dengan titik C, maka ABED menjadi ABCD. Jika ABCD adalah persegi, maka semua sisi sama dan diagonalnya sama panjang dan saling tegak lurus serta membagi dua sama panjang. Jika BD=10, maka sisi = 10/√2 = 5√2. Maka BC=5√2, bukan 13.

Mari kita perhatikan pilihan jawaban: 85, 82.5, 65, 62.5.
Jika Luas = 65 cm^2 (pilihan C).
Luas = 1/2 * BD * AC = 1/2 * 10 * AC = 5 * AC.
65 = 5 * AC => AC = 13 cm.
Jika AC = 13, dan BD = 10. Misalkan AC tegak lurus BD di O. BO=OD=5. AO+OC = 13. Misalkan AO=x, OC=13-x. Dalam segitiga BCO, BC^2 = BO^2 + CO^2 = 5^2 + (13-x)^2 = 25 + (169 - 26x + x^2). BC=13, jadi 169 = 25 + 169 - 26x + x^2. x^2 - 26x + 25 = 0. (x-1)(x-25)=0. x=1 atau x=25. Jika x=1, AO=1, OC=12. Jika x=25, AO=25, OC=-12 (tidak mungkin). Jadi AO=1. AD^2 = AO^2 + OD^2 = 1^2 + 5^2 = 1+25 = 26. AD = sqrt(26). AB=AD=sqrt(26). ABED adalah persegi, maka AB=AD. Ini konsisten. ABED adalah persegi dengan diagonal BD=10 dan AC=13. Ini tidak mungkin karena diagonal persegi sama panjang.

Ada kemungkinan soal mengacu pada luas segitiga yang membentuk layang-layang.
Jika kita kembali ke interpretasi: ABCD layang-layang, AB=AD, BC=CD=13. BD=10 (diagonal). AC diagonal lain. AC tegak lurus BD di O. BO=OD=5. CO = sqrt(13^2 - 5^2) = 12. AO = sqrt(AB^2 - 5^2). ABED persegi. Maka AB=AD. AD^2 = AO^2 + 25. AB=AD. Ini konsisten. Kita perlu AO. 

Jika ABED adalah persegi, maka AB=AD. Maka ABCD adalah belah ketupat. Jika BD=10, maka diagonal lainnya AC = 2*sqrt(13^2 - 5^2) = 2*12=24. Luas = 1/2 * 10 * 24 = 120.

Mungkin ABED adalah persegi yang berbagi sisi AB dengan layang-layang. Dan BD=10 adalah diagonal dari layang-layang. BC=13.
Jika ABED adalah persegi, maka AB=AD.
Dalam layang-layang ABCD, AB=AD dan BC=CD.
Maka AB=AD dan BC=CD=13.
BD=10 adalah salah satu diagonal.
Misalkan diagonal AC tegak lurus BD di O.
Maka BO=OD=5.
Dalam segitiga BCO, CO = sqrt(BC^2 - BO^2) = sqrt(13^2 - 5^2) = 12.
Dalam segitiga ADO, AD^2 = AO^2 + OD^2 = AO^2 + 5^2.
Karena AB=AD, maka AB^2 = AO^2 + 25.
Luas ABCD = Luas segitiga ABD + Luas segitiga BCD.
Luas segitiga BCD = 1/2 * BD * CO = 1/2 * 10 * 12 = 60.
Luas segitiga ABD = 1/2 * BD * AO = 1/2 * 10 * AO = 5 * AO.
Luas ABCD = 60 + 5*AO.
Kita perlu mencari AO.
Karena ABED adalah persegi, maka AB=AD. Ini sudah kita gunakan. 
Jika ABED adalah persegi, maka sudut DAB=90 derajat. Dalam layang-layang ABCD, jika ∠DAB = 90°, dan AB=AD, maka segitiga ABD adalah segitiga siku-siku sama kaki. BD adalah hipotenusa. BD^2 = AB^2 + AD^2 = 2*AB^2.
10^2 = 2*AB^2 => 100 = 2*AB^2 => AB^2 = 50 => AB = sqrt(50) = 5*sqrt(2).
Jika AB = 5*sqrt(2), maka AD = 5*sqrt(2).
AD^2 = AO^2 + OD^2 => 50 = AO^2 + 5^2 => 50 = AO^2 + 25 => AO^2 = 25 => AO = 5.
Jadi, jika ∠DAB=90°, maka AO=5.
Luas ABCD = 60 + 5*AO = 60 + 5*5 = 60 + 25 = 85 cm^2.
Ini cocok dengan pilihan A.
Jadi, interpretasinya adalah:
ABCD adalah layang-layang dengan AB=AD dan BC=CD=13. BD=10 adalah diagonalnya.
ABED adalah persegi, yang menyiratkan AB=AD dan ∠DAB = 90°.
Karena AB=AD dan ∠DAB = 90°, segitiga ABD adalah segitiga siku-siku sama kaki. BD adalah hipotenusa.
BD^2 = AB^2 + AD^2 = 2AB^2
10^2 = 2AB^2
100 = 2AB^2
AB^2 = 50
AB = sqrt(50) = 5√2.
Karena AB=AD, maka AD = 5√2.
Diagonal AC tegak lurus BD di O, dan BD dibagi dua sama panjang: BO=OD=5.
Dalam segitiga BCO, CO = sqrt(BC^2 - BO^2) = sqrt(13^2 - 5^2) = 12.
Dalam segitiga ADO, AO = sqrt(AD^2 - OD^2) = sqrt((5√2)^2 - 5^2) = sqrt(50 - 25) = sqrt(25) = 5.
Panjang diagonal AC = AO + CO = 5 + 12 = 17 cm.
Luas layang-layang ABCD = 1/2 * BD * AC = 1/2 * 10 * 17 = 5 * 17 = 85 cm^2.