Agar (p+1)x^2-2px+(p-4) bernilai negatif untuk semua x ,

p < -4/3

Pembahasan

Agar ekspresi kuadrat (p+1)x² - 2px + (p-4) selalu bernilai negatif untuk semua nilai x, dua kondisi harus terpenuhi:
1. Koefisien dari x² (yaitu, a = p+1) harus negatif, karena parabola harus terbuka ke bawah.
2. Diskriminan (D = b² - 4ac) harus negatif, karena parabola tidak boleh memotong atau menyinggung sumbu-x (agar nilainya selalu negatif).

Mari kita terapkan kedua kondisi tersebut:

Kondisi 1: a < 0
p + 1 < 0
p < -1

Kondisi 2: D < 0
Di mana a = p+1, b = -2p, dan c = p-4.

D = (-2p)² - 4(p+1)(p-4)
D = 4p² - 4(p² - 4p + p - 4)
D = 4p² - 4(p² - 3p - 4)
D = 4p² - 4p² + 12p + 16
D = 12p + 16

Sekarang, kita terapkan D < 0:
12p + 16 < 0
12p < -16
p < -16/12
p < -4/3

Kita perlu memenuhi kedua kondisi secara bersamaan: p < -1 DAN p < -4/3.

Karena -4/3 lebih kecil dari -1 (-4/3 ≈ -1.33), maka irisan dari kedua kondisi tersebut adalah p < -4/3.

Jadi, batas-batas nilai p agar ekspresi tersebut selalu bernilai negatif adalah p < -4/3.