Akar-akar dari 12(2log akar(x))+1/2logx=5 adalah x1 dan x2.

Soal ini kemungkinan memiliki kesalahan penulisan karena bentuk persamaannya tidak menghasilkan dua akar secara langsung. Jika diasumsikan ada kesalahan ketik dan persamaan yang dimaksud adalah $3( ext{log}_{b} x)^2 + 2 ext{log}_{b} x - 5 = 0$, maka akar-akarnya adalah $b$ dan $b^{-5/3}$. Nilai $x_1^6 + x_2^6$ akan menjadi $b^6 + b^{-10}$, yang masih bergantung pada basis $b$. Tanpa klarifikasi lebih lanjut atau koreksi pada soal, tidak mungkin memberikan jawaban numerik yang pasti.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memahami sifat-sifat logaritma dan persamaan kuadrat.
Pertama, ubah persamaan 12(2log akar(x))+1/2logx=5 menjadi bentuk yang lebih sederhana.
Kita tahu bahwa $2	ext{log}	ext{akar}(x) = 2	ext{log}(x^{1/2}) = 2 	imes rac{1}{2} 	ext{log} x = 	ext{log} x$.
Substitusikan kembali ke persamaan awal:
$12(	ext{log} x) + rac{1}{2}	ext{log} x = 5$
$(12 + rac{1}{2})	ext{log} x = 5$
$(rac{24+1}{2})	ext{log} x = 5$
$rac{25}{2}	ext{log} x = 5$
$	ext{log} x = 5 	imes rac{2}{25}$
$	ext{log} x = rac{10}{25}$
$	ext{log} x = rac{2}{5}$
Ini berarti $x = 10^{2/5}$.
Karena persamaan awal berbentuk $12(2	ext{log}	ext{akar}(x)) + rac{1}{2}	ext{log} x = 5$, dan kita menyederhanakannya menjadi $rac{25}{2}	ext{log} x = 5$, yang menghasilkan $	ext{log} x = rac{2}{5}$. Dalam konteks persamaan logaritma, basis logaritma biasanya diasumsikan 10 jika tidak disebutkan. Jadi, $x = 10^{2/5}$.
Namun, jika kita menafsirkan $2	ext{log}	ext{akar}(x)$ sebagai $2 	imes 	ext{log}_2(	ext{akar}(x))$, maka akan berbeda. Mari kita asumsikan logaritma yang digunakan adalah logaritma natural (ln) atau logaritma basis 10 (log) tanpa basis yang disebutkan secara eksplisit.
Jika kita menganggap basis logaritma adalah 10:
$12(2	ext{log}_{10}	ext{akar}(x)) + rac{1}{2}	ext{log}_{10} x = 5$
$12(2 	imes rac{1}{2} 	ext{log}_{10} x) + rac{1}{2}	ext{log}_{10} x = 5$
$12 	ext{log}_{10} x + rac{1}{2}	ext{log}_{10} x = 5$
$(rac{24}{2} + rac{1}{2}) 	ext{log}_{10} x = 5$
$rac{25}{2} 	ext{log}_{10} x = 5$
$	ext{log}_{10} x = 5 	imes rac{2}{25} = rac{10}{25} = rac{2}{5}$
$x = 10^{2/5}$.
Dalam kasus ini, hanya ada satu akar, yaitu $x = 10^{2/5}$. Soal menanyakan $x_1^6 + x_2^6$, yang menyiratkan ada dua akar. Ini menunjukkan mungkin ada kesalahan dalam penafsiran soal atau soal tersebut kurang spesifik mengenai basis logaritma atau bentuk persamaannya.

Mari kita coba interpretasi lain, di mana $	ext{log}$ mungkin merujuk pada logaritma dengan basis yang relevan agar menghasilkan akar yang lebih sederhana atau dua akar.
Jika kita menganggap $2	ext{log}	ext{akar}(x)$ sebagai $2	ext{log}_b(x^{1/2})$ dan $rac{1}{2}	ext{log} x$ sebagai $rac{1}{2}	ext{log}_b x$, maka:
$12 	ext{log}_b x + rac{1}{2} 	ext{log}_b x = 5$
$rac{25}{2} 	ext{log}_b x = 5$
$	ext{log}_b x = rac{2}{5}$
$x = b^{2/5}$.

Jika kita menganggap $2	ext{log}$ adalah $2 	imes 	ext{log}$, dan $	ext{akar}(x)$ adalah $	ext{akar}(x)$, dan basisnya adalah $x$: $	ext{log}_x(	ext{akar}(x))$?
Ini juga tidak masuk akal.

Kemungkinan lain: $12(	ext{log}_{x} 	ext{akar}(x))^2$? Tidak.

Mari kita kembali ke asumsi logaritma basis 10 dan periksa kembali apakah ada kemungkinan lain untuk mendapatkan dua akar.
Jika persamaan awalnya adalah: $12(2	ext{log} x^{1/2}) + rac{1}{2}	ext{log} x = 5$. Ini hanya menghasilkan satu akar.

Bagaimana jika $2	ext{log}$ adalah $2 	imes 	ext{log}$ dan $	ext{akar}(x)$ adalah argumen, dan kemudian ada $rac{1}{2}	ext{log} x$? Ini tetap sama.

Asumsikan bahwa $2	ext{log}$ adalah $2 	imes 	ext{log}$ dan $	ext{akar}(x)$ adalah $	ext{akar}(x)$, dan basis logaritma adalah suatu konstanta $b$. Maka: $12 	imes 2 	imes rac{1}{2} 	ext{log}_b x + rac{1}{2} 	ext{log}_b x = 5 
ightarrow rac{25}{2} 	ext{log}_b x = 5 
ightarrow 	ext{log}_b x = rac{2}{5} 
ightarrow x = b^{2/5}$.

Jika soal tersebut dimaksudkan untuk menjadi persamaan kuadrat dalam bentuk logaritma, misalnya:
$12(2	ext{log} x) + (	ext{log} x)^2 = 5$? Atau $12(2	ext{log} x) 	imes (rac{1}{2}	ext{log} x) = 5$? Ini tidak sesuai dengan penulisan.

Mari kita coba asumsi yang sangat berbeda: mungkin $2	ext{log}	ext{akar}(x)$ berarti $2 	imes 	ext{log}_{	ext{akar}(x)}(x)$?
$12 	imes 2 	imes 	ext{log}_{x^{1/2}}(x) + rac{1}{2}	ext{log}_x(x) = 5$
Kita tahu $	ext{log}_{a^k} b = rac{1}{k} 	ext{log}_a b$. Jadi $	ext{log}_{x^{1/2}}(x) = rac{1}{1/2} 	ext{log}_x x = 2 	imes 1 = 2$.
Dan $	ext{log}_x x = 1$.
Maka persamaan menjadi:
$12 	imes 2 	imes 2 + rac{1}{2} 	imes 1 = 5$
$48 + rac{1}{2} = 5$
$48.5 = 5$. Ini salah.

Mari kita coba interpretasi lain: $2	ext{log}(	ext{akar}(x))$ adalah $2	ext{log}(x)$ dan $	ext{akar}(x)$ adalah argumen untuk $2	ext{log}$. Tapi $rac{1}{2}	ext{log}x$ adalah $rac{1}{2}	ext{log} x$. Ini kembali ke kasus awal.

Satu-satunya cara agar soal ini memiliki dua akar adalah jika ada bentuk kuadrat dari $	ext{log} x$. Misalnya, jika soalnya adalah:
$12(2	ext{log} x)^2 + rac{1}{2}	ext{log} x = 5$ atau semacamnya.

Jika kita kembali ke bentuk $12(2	ext{log} 	ext{akar}(x)) + rac{1}{2}	ext{log} x = 5$, dan kita asumsikan bahwa $	ext{log}$ adalah $	ext{log}_{10}$:
$12 	imes (2 	imes rac{1}{2} 	ext{log}_{10} x) + rac{1}{2}	ext{log}_{10} x = 5$
$12 	ext{log}_{10} x + rac{1}{2}	ext{log}_{10} x = 5$
$rac{25}{2} 	ext{log}_{10} x = 5$
$	ext{log}_{10} x = rac{2}{5}$
$x = 10^{2/5}$.

Jika kita menganggap soalnya adalah $12(rac{1}{2}	ext{log}_{b} x)^2 + rac{1}{2}	ext{log}_{b} x = 5$, dengan $y = rac{1}{2}	ext{log}_{b} x$, maka $12y^2 + y - 5 = 0$. Diskriminan $D = 1^2 - 4(12)(-5) = 1 + 240 = 241$. Akar $y = rac{-1 
pm	ext{sqrt}(241)}{24}$. Ini tidak menghasilkan nilai yang mudah.

Jika soalnya adalah $12(2	ext{log}_{b} x) + (rac{1}{2}	ext{log}_{b} x)^2 = 5$. $24 	ext{log}_{b} x + rac{1}{4}(	ext{log}_{b} x)^2 = 5$. Misal $y = 	ext{log}_b x$. $rac{1}{4}y^2 + 24y - 5 = 0$. $y^2 + 96y - 20 = 0$. Diskriminan $D = 96^2 - 4(1)(-20) = 9216 + 80 = 9296$. Akarnya tidak mudah.

Asumsikan ada kesalahan ketik dan soalnya adalah: $12(2 	ext{log} x) + (	ext{log} x)^2 = 5$? Tidak sesuai.

Mari kita coba asumsi yang paling mungkin agar ada dua akar, yaitu ada bentuk kuadrat dari $	ext{log} x$. Misalkan soalnya adalah:
$12 	imes (rac{1}{2} 	ext{log}_{b} x)^2 + 2 	ext{log}_{b} x = 5$ ?
$12 	imes rac{1}{4} (	ext{log}_{b} x)^2 + 2 	ext{log}_{b} x = 5$
$3 (	ext{log}_{b} x)^2 + 2 	ext{log}_{b} x - 5 = 0$.
Misalkan $y = 	ext{log}_{b} x$. Maka $3y^2 + 2y - 5 = 0$.
Faktorisasi: $(3y + 5)(y - 1) = 0$.
Jadi $y = 1$ atau $y = -rac{5}{3}$.
Ini berarti $	ext{log}_{b} x = 1 
ightarrow x = b^1 = b$.
Dan $	ext{log}_{b} x = -rac{5}{3} 
ightarrow x = b^{-5/3}$.
Dalam kasus ini, $x_1 = b$ dan $x_2 = b^{-5/3}$.
Maka $x_1^6 + x_2^6 = b^6 + (b^{-5/3})^6 = b^6 + b^{-10}$.
Ini masih bergantung pada $b$.

Kemungkinan lain: $12(2	ext{log} x) + rac{1}{2} (	ext{log} x)^2 = 5$ ?
Misal $y = 	ext{log} x$. $24y + rac{1}{2}y^2 = 5$. $y^2 + 48y - 10 = 0$. Diskriminan $D = 48^2 - 4(1)(-10) = 2304 + 40 = 2344$. Tidak mudah.

Mari kita coba interpretasi lain dari