Diketahui invers dari f(x) adalah f^-1(x)=x+2 dan invers

a. a = -3/2 b. a = 17/3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan konsep fungsi invers dan komposisi fungsi.

Diketahui:
f⁻¹(x) = x + 2
g⁻¹(x) = (2x + 3) / 3

Kita perlu mencari nilai a yang memenuhi persamaan:
a. (g o f)⁻¹(a) = 2
b. (g o f)⁻¹(7) = a + 2

Pertama, mari kita cari fungsi f(x) dan g(x) dari inversnya.

Untuk f(x):
Misalkan y = f⁻¹(x) = x + 2.
Untuk mencari f(x), kita tukar x dan y, lalu selesaikan untuk y:
x = y + 2
y = x - 2
Jadi, f(x) = x - 2.

Untuk g(x):
Misalkan y = g⁻¹(x) = (2x + 3) / 3.
Untuk mencari g(x), kita tukar x dan y, lalu selesaikan untuk y:
x = (2y + 3) / 3
3x = 2y + 3
3x - 3 = 2y
y = (3x - 3) / 2
Jadi, g(x) = (3x - 3) / 2.

Selanjutnya, kita cari komposisi fungsi (g o f)(x) dan inversnya (g o f)⁻¹(x).
(g o f)(x) = g(f(x))
(g o f)(x) = g(x - 2)
(g o f)(x) = (3(x - 2) - 3) / 2
(g o f)(x) = (3x - 6 - 3) / 2
(g o f)(x) = (3x - 9) / 2

Sekarang, cari invers dari (g o f)(x):
Misalkan y = (g o f)(x) = (3x - 9) / 2.
Untuk mencari (g o f)⁻¹(x), kita tukar x dan y, lalu selesaikan untuk y:
x = (3y - 9) / 2
2x = 3y - 9
2x + 9 = 3y
y = (2x + 9) / 3
Jadi, (g o f)⁻¹(x) = (2x + 9) / 3.

Atau, kita bisa menggunakan sifat (g o f)⁻¹(x) = f⁻¹(g⁻¹(x)).
(g o f)⁻¹(x) = f⁻¹(g⁻¹(x))
(g o f)⁻¹(x) = f⁻¹((2x + 3) / 3)
(g o f)⁻¹(x) = ((2x + 3) / 3) - 2
(g o f)⁻¹(x) = (2x + 3 - 6) / 3
(g o f)⁻¹(x) = (2x - 3) / 3.

Terjadi perbedaan hasil antara kedua metode. Mari kita periksa kembali perhitungan.

Metode 1: Cari (g o f)(x) dulu, lalu inversnya.
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x-2) = (3(x-2)-3)/2 = (3x-6-3)/2 = (3x-9)/2.
Inversnya: y = (3x-9)/2 -> x = (3y-9)/2 -> 2x = 3y-9 -> 2x+9 = 3y -> y = (2x+9)/3. Benar.

Metode 2: Gunakan sifat (g o f)⁻¹(x) = f⁻¹(g⁻¹(x)).
f⁻¹(x) = x + 2
g⁻¹(x) = (2x + 3) / 3
(g o f)⁻¹(x) = f⁻¹(g⁻¹(x)) = f⁻¹((2x + 3) / 3)
= ((2x + 3) / 3) + 2
= (2x + 3 + 6) / 3
= (2x + 9) / 3. Benar.

Kedua metode memberikan hasil yang sama: (g o f)⁻¹(x) = (2x + 9) / 3.

Sekarang kita selesaikan soal a dan b.

a. (g o f)⁻¹(a) = 2
(2a + 9) / 3 = 2
2a + 9 = 6
2a = 6 - 9
2a = -3
a = -3 / 2

Jadi, nilai a untuk bagian a adalah -3/2.

b. (g o f)⁻¹(7) = a + 2
(2(7) + 9) / 3 = a + 2
(14 + 9) / 3 = a + 2
23 / 3 = a + 2
a = 23 / 3 - 2
a = 23 / 3 - 6 / 3
a = 17 / 3

Jadi, nilai a untuk bagian b adalah 17/3.